Apa itu matriks kovarians isotropik (bola)?

Bisakah seseorang menjelaskan kepada saya secara sederhana apa itu matriks kovarians isotropik? Saya tidak dapat menemukan apa pun secara online.

terminology covariance-matrix definition

— uji
sumber

Matriks kovarians disebut isotropik , atau bola , jika proporsional dengan matriks identitas: yaitu diagonal dan semua elemen pada diagonal sama. $\mathbf C$

C = λ saya,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

Definisi ini tidak tergantung pada sistem koordinat; jika kita memutar sistem koordinat dengan matriks rotasi ortogonal , maka matriks kovarians akan berubah menjadi yaitu akan tetap sama. $\mathbf V$

V^{⊤} C V = V^{⊤} \cdot λ saya \cdot V = V^{⊤} V \cdot λ saya = λ saya,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

Secara intuitif, matriks kovarians isotropik sesuai dengan awan data "bulat". Sebuah bola tetap menjadi bola setelah rotasi.

— amuba
sumber

Bagaimana jika variabel dapat diputar untuk sampai ke

covariance matrix?

λ I

$\lambda \mathbf I$

— Aksakal

@Aksakal Lihat pembaruan.

— amoeba

+1. Tapi anehnya, definisi yang sama sekali berbeda dari "isotropik" juga berlaku untuk

karena - seperti biasa dengan matriks kovarians - itu merupakan bentuk kuadrat pada ruang vektor nyata. Tetapi dalam pengertian lain ini, satu - satunya matriks kovarians isotropik adalah matriks nol!

C

$C$

— whuber

@whuber Menarik! Saya tidak ingat bahwa ada gagasan tentang bentuk kuadratik "isotropik". Tetapi membaca definisi sekarang, tidak akankah matriks kovarians dengan setidaknya satu nilai eigen nol menjadi "isotropik" dalam pengertian itu?

— amoeba

Anda benar - saya salah menentukan kuantifier. Menurut definisi, bentuk kuadrat isotropik memiliki setidaknya satu vektor isotropik bukan nol (daripada semua vektor menjadi isotropik).

— whuber

$|x - x'|$

Sunting: maaf saya salah membaca, untuk matriks, jawaban yang tepat adalah jawaban amoeba.

— mik
sumber

Pertanyaan yang diajukan tentang matriks kovarians . Tentu saja sebuah matriks dapat dilihat sebagai suatu fungsi, tetapi saya kira ini membutuhkan beberapa elaborasi untuk OP.

— amoeba