Akankah ada Tribble yang tidak bahagia di Oz?

Inilah masalah lucu yang dibawa oleh seorang siswa kepada saya. Meskipun pada awalnya diutarakan dalam istilah peluru yang saling memusnahkan yang ditembakkan secara berkala dengan pistol, saya pikir Anda mungkin menikmati presentasi yang lebih damai.

Di dunia Oz yang datar dan tak terbatas, Yellow Brick Road dimulai di pusat Kota Emerald, berliku melintasi pedesaan, dan berlanjut selamanya tanpa melintasi sendiri. Pada siang hari setiap hari, satu Tribble hermafrodit muda yang sehat berangkat dari jalan ini dari asalnya dengan kecepatan yang dipilih secara seragam hingga satu kilometer per hari. Sepanjang perjalanannya itu akan terus bergulir pada kecepatan yang sama, tidak pernah berhenti. Tetapi jika salah satu Tribble menyalip yang lain di jalan, masing-masing langsung mengenali belahan jiwanya dan keduanya jatuh ke samping (mungkin untuk mereproduksi dan akhirnya memasok lebih banyak Tribbles ke rumah).

Seperti yang Anda ketahui, perkawinan seperti itu sering terjadi, karena kemungkinan dua Tribbles berputar dengan kecepatan yang sama adalah nol. Oh, selamat Tribbles! Tetapi apakah kehidupan dijamin baik untuk mereka semua?

Apa peluang bahwa setidaknya satu Tribble berlanjut selamanya, tidak pernah menyusul atau disalip?

Sunting: Saya sepertinya mencampurkan ide probabilitas positif dan probabilitas 1. Pernyataan yang dibuktikan di sini jauh lebih lemah daripada yang saya harapkan.

Secara intuitif, jawabannya adalah 0. Tidak sulit untuk membuktikannya

Setiap Tribble yang diberikan, dengan probabilitas positif, akhirnya mendapatkan jodoh.

Tetapi saya pikir ini mungkin tidak cukup untuk menyiratkan bahwa dengan probabilitas positif, setiap suku akhirnya mendapatkan pasangan, sesuai dengan paradoks Zeno.

Ini bukti pernyataan yang dikutip. Pertama, mari kita ganti masalah dengan formulasi alternatif yang lebih sederhana sebagai berikut. Ada tumpukan yang mulai kosong. Komputer menggambar variasi acak dalam urutan secara independen dan seragam dari [0, 1]. Setiap kali nilai diambil, tumpukan berubah.

• Jika tumpukan kosong, atau item teratas di tumpukan memiliki nilai lebih besar, maka item baru ditambahkan dengan nilai baru. (Peluru lebih lambat dari peluru terakhir atau Tribble lebih lambat dari Tribble terakhir telah dibuat.)
• Kalau tidak, item teratas dihapus. (Peluru atau Tribbles bertabrakan.)

(Formulasi ini tidak termasuk peristiwa peluru atau Tribble lebih cepat dari yang sebelumnya dibuat tetapi kemudian dihancurkan sebelum menyentuh yang sebelumnya, tetapi peristiwa seperti itu meninggalkan tumpukan yang sama, sehingga tidak ada konsekuensi.)

$1$$I_0$$v_0$$k$$I_0$$v_1,\; v_2,\; …,\; v_k$$v_k$$k + 1$$(v_k, 1)$$(v_{k-1}, 1)$$(v_0, 1)$$I_0$$(1 - v_k)(1 - v_{k-1})\cdots(1 - v_0)$