Distribusi jarak pengamatan tingkat Mahalanobis

Jika saya memiliki sampel iid multivariat normal , dan tentukan (yang merupakan semacam jarak Mahalanobis [kuadrat] dari titik sampel ke vektor menggunakan matriks untuk menentukan bobot), berapakah distribusi (jarak Mahalanobis ke sampel mean menggunakan sampel kovarians matriks )? $X_1, \ldots, X_n \sim N_p(\mu,\Sigma)$

d_{i}^{2} (b, A) = (X_{i} - b)^{'} A^{- 1} (X_{i} - b)

$d_i^2(b,A) = (X_i - b)' A^{-1} (X_i - b)$

a

$a$

A

$A$

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

\bar{X}

$\bar X$

S

$S$

Saya melihat sebuah makalah yang mengklaim itu adalah , tapi ini jelas salah: akan diperoleh untuk menggunakan vektor mean populasi (tidak diketahui) rata-rata dan matriks kovarians. Ketika analog sampel dicolokkan, seseorang harus mendapatkan distribusi Hotelling , atau distribusi berskala , atau sesuatu seperti itu, tetapi bukan . Saya tidak dapat menemukan hasil yang pasti di Muirhead (2005) , atau di Anderson (2003) , atau di Mardia, Kent dan Bibby (1979, 2003) $\chi^2_p$ $\chi^2_p$ $d_i^2(\mu,\Sigma)$ $T^{\ 2}$ $F(\cdot)$ $\chi^2_p$ . Rupanya, orang-orang ini tidak repot dengan diagnosa outlier, karena distribusi normal multivariat sempurna dan mudah diperoleh setiap kali seseorang mengumpulkan data multivarian: - /.

Segalanya mungkin lebih rumit dari itu. Hasil distribusi Hotelling didasarkan pada asumsi independensi antara bagian vektor dan bagian matriks; kemerdekaan seperti berlaku untuk dan , tetapi tidak lagi berlaku untuk dan . $T^{\ 2}$ $\bar X$ $S$ $X_i$ $S$

multivariate-analysis outliers

— Tugas
sumber

Dalam definisi , apakah Anda masih melihat sebagai variabel acak atau apakah Anda sekarang memperlakukannya sebagai vektor tetap? Termasuk subskrip menyarankan yang terakhir, tapi itu agak aneh.

d_{i}^{2}

$d_i^2$

X_{i}

$X_i$

— whuber

Hanya sedikit off-the-manset catatan, tapi pemberitahuan bahwa

adalah tambahan sehubungan dengan

dan

adalah sama dengan konstan tetap (harus

, atau serupa, saya pikir) hampir pasti.

X_{i} - \bar{X}

$X_i - \bar{X}$

μ

$\mu$

\sum_{i} d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$\sum_i d_i^2(\bar{X},S)$

n - p

$n-p$

— kardinal

@whuber - mungkin untuk menekankan bahwa itu dihitung menggunakan pengamatan dari sampel, bukan pengamatan baru?

— jbowman

@whuber, kira-kira sesuai dengan apa yang dikatakan jbowman - untuk menunjukkan bahwa ini adalah statistik tingkat observasi (berbeda dengan statistik tingkat sampel, seperti rata-rata sampel).

— Tugas

Distribusi

adalah beta,

, tapi saya masih mencari distribusi

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

n / (n - 1)^{2} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (p / 2, (n - p - 1) / 2)

$n/(n-1)^2 d_i^2(\bar X,S) \sim B(p/2, (n-p-1)/2)$

d_{i}^{2} (μ, S)

$d^2_i(\mu, S)$ . Distribusi dari

's tidak independen.

d_{i}^{2}

$d^2_i$

Jawaban:

Lihatlah Pemodelan Campuran Gaussian dengan Memanfaatkan Jarak Mahalanobis ( tautan alternatif ). Lihat halaman no 13, kolom kedua. Penulis juga memberikan beberapa bukti juga untuk mendapatkan distribusi. Distribusi ini berskala beta. Tolong beri tahu saya jika ini tidak berhasil untuk Anda. Kalau tidak, saya bisa memeriksa petunjuk apa pun di buku SS Wilks besok.

— vinux
sumber

Jawaban yang diberikan di koran adalah:

. Terima kasih!

\frac{n}{(n - 1)^{2}} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (\frac{p}{2}, \frac{n - p - 1}{2})

$\frac{n}{(n-1)^2} d_i^2(\bar X, S) \sim B(\frac{p}{2}, \frac{n-p-1}{2} )$

— Tugas

Ada 3 distribusi yang relevan. Sebagaimana dicatat, jika parameter populasi yang sebenarnya digunakan maka distribusinya adalah chi-kuadrat dengan . Ini juga merupakan distribusi asimptotik dengan estimasi parameter dan ukuran sampel yang besar. $df=p$

Jawaban lain memberikan distribusi yang benar untuk situasi yang paling umum, dengan parameter estimasi ketika pengamatan itu sendiri merupakan bagian dari set estimasi:

\frac{n (d^{2})}{(n - 1)^{2}} \sim B e t Sebuah (\frac{hal}{2}, \frac{(n - hal - 1)}{2}) .

$\frac{n(d^2)}{(n-1)^2} \sim Beta\left(\frac{p}{2}, \frac{(n-p-1)}{2}\right).$

x_{i}

$x_i$

(\frac{n d^{2} (n - hal)}{(hal (n - 1) (n + 1)}) \sim F (hal, n - hal)

$\left(\frac{nd^2(n-p)}{(p(n-1)(n+1)}\right) \sim F(p, n-p)$

— Joe Sullivan
sumber

L A T E X

$\LaTeX$

dapatkah Anda memberikan referensi untuk rumus F?

— eyaler

satu rujukan terkait, bagian 3 dalam Hardin, Johanna, dan David M. Rocke. 2005. "Distribusi Jarak Kuat." Jurnal Statistik Komputasi dan Grafik 14 (4): 928-46. doi: 10.1198 / 106186005X77685.

— Josef