root-n estimator yang konsisten, tetapi root-n tidak bertemu?

Saya pernah mendengar istilah "root-n" estimator konsisten 'digunakan berkali-kali. Dari sumber yang saya perintahkan, saya berpikir bahwa penduga yang konsisten "root-n" berarti:

penaksir bertemu pada nilai sebenarnya (maka kata "konsisten")
penaksir bertemu pada tingkat $1/\sqrt{n}$

Ini membingungkan saya, sejak itu $1/\sqrt{n}$ tidak bertemu? Apakah saya melewatkan sesuatu yang penting di sini?

convergence estimators consistency

— Candic3
sumber

Itu berarti

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ) = O_{p} (1)

$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta)=O_p(1)$ .

— hejseb

tapi

\hat{θ}

$\hat\theta$ adalah variabel, jadi bagaimana Anda menghitung ini?

— Candic3

@ Hejseb, saya menghargai tanggapan Anda, terima kasih. Bisakah Anda jelaskan dengan kata-kata? Ini membantu saya untuk bisa verbalisasi, daripada hanya melihat simbol.

— Candic3

Pertanyaan bagus! Tapi saya bingung dengan klaim itu

1 / \sqrt{n}

$1/\sqrt n$ tidak bertemu, apa yang Anda maksud dengan itu?

— Silverfish

Anda membingungkan urutannya

1 / \sqrt{n} = 1 / 1, 1 / \sqrt{2}, 1 / \sqrt{3}, \dots

$1/\sqrt{n} = 1/1, 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{3}, \ldots$ dengan seri

\sum_{i = 1}^{n} 1 / \sqrt{k}

$\sum_{i=1}^n 1/\sqrt{k}$ yang memiliki istilah umum

1 / 1 + 1 / \sqrt{2} + 1 / \sqrt{3} + \dots + 1 / \sqrt{n}

$1/1 + 1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{3} + \cdots + 1/\sqrt{n}$ . Yang pertama konvergen ke

0

$0$ sebagai

n

$n$ tumbuh besar sedangkan yang terakhir menyimpang. Yang terakhir, bagaimanapun, tidak relevan.

— whuber

Maksud hejseb adalah itu $\sqrt{n}(\hat\theta-\theta)$ adalah "dibatasi dalam probabilitas", secara longgar berbicara bahwa probabilitas itu $\sqrt{n}(\hat\theta-\theta)$ mengambil nilai "ekstrim" adalah "kecil".

Sekarang, $\sqrt{n}$ jelas menyimpang hingga tak terbatas. Jika produk dari $\sqrt{n}$ dan $(\hat\theta-\theta)$ dibatasi, itu harus berarti itu $(\hat\theta-\theta)$ pergi ke nol dalam probabilitas, secara formal $\hat\theta-\theta=o_p(1)$ , dan khususnya pada tingkat $1/\sqrt{n}$ jika produk harus dibatasi. Secara formal,

\hat{θ} - θ = {HAI}_{hal} (n^{- 1 / 2})

$\hat\theta-\theta=O_p(n^{-1/2})$

\hat{θ} - θ = o_{p} (1)

$\hat\theta-\theta=o_p(1)$ hanyalah cara lain untuk mengatakan kami memiliki konsistensi - kesalahan "menghilang" sebagai

n \to \infty

$n\to\infty$ . Catat itu

\hat{θ} - θ = O_{p} (1)

$\hat\theta-\theta=O_p(1)$ tidak akan cukup (lihat komentar) untuk konsistensi, karena itu hanya berarti kesalahan

\hat{θ} - θ

$\hat\theta-\theta$ dibatasi, tetapi tidak berarti nol.

— Christoph Hanck
sumber

Jadi, untuk penaksir untuk menjadi "konsisten", harus memiliki

O (1)

$O(1)$ , nilai konstan, karena jika itu

O (n)

$O(n)$ , maka estimasi akan berbeda dengan n yang meningkat.

— Candic3

Tidak, tidak cukup, lihat edit saya.

— Christoph Hanck