Membuktikan transformasi integral probabilitas tanpa mengasumsikan bahwa CDF benar-benar meningkat

Saya tahu bahwa bukti transformasi integral probabilitas telah diberikan beberapa kali di situs ini. Namun, bukti yang saya temukan menggunakan hipotesis bahwa CDF benar-benar meningkat (bersama-sama, tentu saja, dengan hipotesis bahwa adalah variabel acak kontinu). Saya tahu bahwa sebenarnya satu-satunya hipotesis yang diperlukan adalah bahwa adalah variabel acak kontinu, dan monotonisitas yang ketat tidak diperlukan. Bisakah Anda tunjukkan caranya? $F_X(x)$ $X$ $X$

Karena saya sudah di sini, saya juga mengambil kesempatan untuk meminta aplikasi sederhana dari probabilitas integral transformasi :) dapatkah Anda menunjukkan kepada saya bahwa, jika memiliki CDF dan adalah pemotongan dari ke , lalu didistribusikan sebagai mana ? $X$ $F_X(x)$ $Y$ $X$ $[a,b]$ $Y$ $F_X^{-1}(U)$ $U\sim[F_X(a),F_X(b)]$

probability cdf

— DeltaIV
sumber

jika Anda mau berbaik hati, dalam bukti tautan Anda, dapatkah Anda menunjukkan di mana persyaratan bahwa harus benar-benar meningkat. Terima kasih!

F_{X} (x)

$F_X(x)$

— Erosennin

@ Erosennin, buktinya mengasumsikan adanya kebalikan dari .

F_{X} (x)

$F_X(x)$

— DeltaIV

Terima kasih! Tetapi apakah pernah ada CDF yang tidak meningkat secara ketat? Anda mungkin sudah memikirkan hal ini, ...

— Erosennin

Tentu saja ada. Variabel acak yang pdf-nya sama dengan 1/2 di [0,0.5], 0 di [0,5,1] dan 1/2 di [1,1.5], memiliki CDF yang kontinu, tetapi tidak meningkat secara ketat.

— DeltaIV

Bagian yang sulit adalah berurusan dengan bagian tidak benar-benar kontinu . Idenya dibuat jelas dengan mempertimbangkan kasus ekstrim diskrit . Di stats.stackexchange.com/a/36246/919, saya memberikan algoritma yang mengimplementasikan transformasi integral probabilitas dalam kasus tersebut (serta menyediakan kode kerja). Meniru algoritma untuk sewenang-wenang akan menjawab pertanyaan Anda.

F

$F$

F

$F$

F

$F$

— Whuber

Dalam tautan wikipedia yang disediakan oleh OP, probabilitas integral transformasi dalam kasus univariat diberikan sebagai berikut

Misalkan variabel acak memiliki distribusi kontinu yang fungsi kumulatif distribusi (CDF) adalah . Kemudian variabel acak memiliki distribusi seragam. BUKTI Dengan variabel acak apa pun , tentukan . Kemudian: $X$ $F_X$ $Y=F_X(X)$

$X$ $Y = F_X (X)$

$\begin{aligned} F_{Y} (y) & = Prob (Y \leq y) \\ = Prob (F_{X} (X) \leq y) \\ = Prob (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) \\ = F_{X} (F_{X}^{- 1} (y)) \\ = y \end{aligned}$ $\begin{align} F_Y (y) &= \operatorname{Prob}(Y\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(F_X (X)\leq y) \\ &= \operatorname{Prob}(X\leq F^{-1}_X (y)) \\ &= F_X (F^{-1}_X (y)) \\ &= y \end{align}$

$F_Y$ hanyalah CDF dari variabel acak . Dengan demikian, memiliki distribusi seragam pada interval . $\mathrm{Uniform}(0,1)$ $Y$ $[0, 1]$

Masalah dengan hal di atas adalah tidak jelas apa yang simbol . Jika itu mewakili inversi "biasa" (yang ada hanya untuk bijections), maka bukti di atas hanya akan berlaku untuk CDF yang terus menerus dan terus meningkat. Tetapi ini bukan masalahnya, karena untuk setiap CDF kami bekerja dengan fungsi kuantil (yang pada dasarnya adalah invers yang digeneralisasi), $F_X^{-1}$

F_{Z}^{- 1} (t) \equiv inf {z : F_{Z} (z) \geq t}, t \in (0, 1)

$F_Z^{-1}(t) \equiv \inf \{z : F_Z(z) \geq t \}, \;\;t\in (0,1)$

Di bawah definisi ini, seri wikipedia tentang persamaan terus berlaku, untuk CDF berkelanjutan. Kesetaraan kritis adalah

Prob (X \leq F_{X}^{- 1} (y)) = Prob (X \leq inf {x : F_{X} (x) \geq y}) = Prob (F_{X} (X) \leq y)

$\operatorname{Prob}(X\leq F^{-1}_{X} (y)) = \operatorname{Prob}(X\leq \inf \{x : F_X(x) \geq y \})= \operatorname{Prob}(F_X (X)\leq y)$

yang berlaku karena kami sedang memeriksa CDF terus menerus. Dalam praktiknya ini berarti grafiknya kontinu (dan tanpa bagian vertikal, karena itu adalah fungsi dan bukan korespondensi). Pada gilirannya, ini menyiratkan bahwa infimum (nilai inf {...}), menyatakannya , akan selalu sedemikian rupa sehingga . Sisanya segera. $x(y)$ $F_X(x(y)) = y$

Mengenai CDF dari distribusi diskrit (atau campuran), itu tidak (tidak dapat) benar bahwa mengikuti seragam , tetapi masih benar bahwa variabel acak memiliki fungsi distribusi (sehingga sampling transformasi terbalik masih dapat digunakan). Bukti dapat ditemukan di Shorack, GR (2000). Kemungkinan untuk ahli statistik . bab.7 . $Y=F_X(X)$ $U(0,1)$ $Z=F_{X}^{-1}(U)$ $F_X$

— Alecos Papadopoulos
sumber

+1 Bukti serupa juga diberikan pada hal. 54 dari Statistik Statistik Casella dan Berger, edisi kedua.

— StatsStudent

@ Analyst1 Terima kasih, ada baiknya memiliki beberapa referensi.

— Alecos Papadopoulos