Apakah ada interpretasi lain untuk distribusi Gamma dengan parameter bentuk non-integer?

Hal ini juga diketahui bahwa variabel acak menjadi Gamma didistribusikan dengan bilangan bulat bentuk parameter setara dengan jumlah kuadrat dari terdistribusi normal variabel acak. $k$ $k$

Tapi apa yang bisa saya katakan tentang variabel acak terdistribusi gamma dengan non-integer ? Apakah ada interpretasi lain selain distribusi Gamma? $k$

probability gamma-distribution

— stollenm
sumber

Gamma dengan parameter bentuk adalah jumlah kuadrat dari variabel acak terdistribusi normal. Gamma dengan parameter bentuk adalah jumlah dari distribusi eksponensial iid.

k / 2

$k/2$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— Greenparker

Satu lagi interpretasi gamma dengan integer : ini adalah waktu tunggu sampai kedatangan dalam proses Poisson satu dimensi dengan intensitas .

k

$k$

k

$k$

1 / θ

$1/\theta$

— Stephan Kolassa

Jika dan independen maka Secara khusus, jika , didistribusikan dengan distribusi yang sama dengan $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

X + Y \sim G (α + β, 1)

$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

untuk setiap

. (Properti ini disebutpembagian tak terbatas.) Ini berarti bahwa, jika

ketika

bukan bilangan bulat,

memiliki distribusi yang sama dengan

dengan

bebas dari

dan

X_{1} + \dots + X_{n} \sim G (α, 1) X_{i} \overset{iid}{\sim} G (α / n, 1)

$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$

n \in N

$n\in\mathbb N$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

α

$\alpha$

X

$X$

Y + Z

$Y+Z$

Z

$Z$

Y

$Y$

Ini juga menyiratkan bahwa bilangan bulat bernilai

tidak memiliki arti khusus untuk Gammas.

Y \sim G (⌊ α ⌋, 1) Z \sim G (α - ⌊ α ⌋, 1)

$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$

α

$\alpha$

Sebaliknya, jika dengan , ia memiliki distribusi yang sama dengan ketika tidak tergantung dari dan Dan karenanya distribusi tidak berubah dalam $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $\alpha<1$ $YU^{1/\alpha}$ $Y$ $U\sim{\cal U}(0,1)$

Y \sim G (α + 1, 1)

$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$

G (α, 1)

${\cal G}(\alpha,1)$

X \sim (X^{'} + ξ) U^{1 / α} X, X^{'} \sim G (α, 1) U \sim U (0, 1) ξ \sim E (1)

$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$

— Xi'an
sumber