Bantu saya memahami fungsi quantile (CDF)

Saya membaca tentang fungsi kuantil, tetapi tidak jelas bagi saya. Bisakah Anda memberikan penjelasan yang lebih intuitif daripada yang disediakan di bawah ini?

Karena cdf $F$ adalah fungsi yang meningkat secara monoton, ia memiliki kebalikan; mari kita nyatakan ini dengan $F^{−1}$ . Jika $F$ adalah cdf dari $X$ , maka $F^{−1}(\alpha)$ adalah nilai $x_\alpha$ sehingga $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ ; ini disebut $\alpha$ kuantil dari $F$ . Nilai $F^{−1}(0.5)$ adalah median dari distribusi, dengan setengah dari massa probabilitas di sebelah kiri, dan setengah di sebelah kanan. Nilai-nilai dan adalah kuartil bawah dan atas. $F^{−1}(0.25)$ $F^{−1}(0.75)$

— Inder Gill
sumber

Anda harus belajar menggunakan markup matematika, lihat hasil edit saya!

— kjetil b halvorsen

Ini adalah model penjelasan ringkas pada tingkat tertentu dan sudah berisi contoh. Tidak jelas tingkat penjelasan yang Anda cari. Jawabannya bisa 10 kali lebih lama dari ini tergantung pada apa yang tidak Anda ketahui. Misalnya, Anda tahu cdf? Tahukah Anda apa arti 'peningkatan monoton'? apakah Anda tahu apa fungsi terbalik? Kami hanya sebagian jalan melalui kalimat pertama. Pertanyaan Anda setara dengan pernyataan yang Anda tidak mengerti (semua) ini dan meskipun kami tidak memiliki alasan untuk meragukan Anda, itu sama sekali bukan pertanyaan yang tepat.

— Nick Cox

Jawaban:

Semua ini mungkin terdengar rumit pada awalnya, tetapi pada dasarnya tentang sesuatu yang sangat sederhana.

Dengan fungsi distribusi kumulatif kami menunjukkan fungsi yang mengembalikan probabilitas $X$ lebih kecil dari atau sama dengan beberapa nilai $x$ ,

Pr (X \leq x) = F (x) .

$\Pr(X \le x) = F(x).$

Fungsi ini digunakan sebagai input dan mengembalikan nilai dari interval —kemungkinan — menyatakannya sebagai . The terbalik dari fungsi distribusi kumulatif (atau fungsi kuantil) memberitahu Anda apa yang akan membuat kembali beberapa nilai , $x$ $[0, 1]$ $p$ $x$ $F(x)$ $p$

F^{- 1} (p) = x .

$F^{-1}(p) = x.$

Ini diilustrasikan dalam diagram di bawah ini yang menggunakan fungsi distribusi kumulatif normal (dan kebalikannya) sebagai contoh.

Contoh

Sebagai contoh sederhana, Anda dapat mengambil distribusi Gumbel standar . Fungsi distribusi kumulatifnya adalah

F (x) = e^{- e^{- x}}

$F(x) = e^{-e^{-x}}$

dan dapat dengan mudah dibalik: fungsi logaritma natural recall adalah kebalikan dari fungsi eksponensial , sehingga jelas bahwa fungsi kuantil untuk distribusi Gumbel adalah

F^{- 1} (p) = - \ln (- \ln (p))

$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$

Seperti yang Anda lihat, fungsi kuantil, sesuai dengan nama alternatifnya, "membalikkan" perilaku fungsi distribusi kumulatif.

Fungsi distribusi terbalik umum

Tidak setiap fungsi memiliki kebalikan. Itulah sebabnya kutipan yang Anda rujuk mengatakan "fungsi yang meningkat secara monoton". Ingatlah bahwa dari definisi fungsi , ia harus menetapkan untuk setiap nilai input tepat satu output. Fungsi distribusi kumulatif untuk variabel acak kontinu memenuhi properti ini karena mereka meningkat secara monoton. Untuk variabel acak diskrit, fungsi distribusi kumulatif tidak kontinu dan meningkat, jadi kami menggunakan fungsi distribusi terbalik umum yang perlu tidak menurun. Lebih formal, fungsi distribusi terbalik umum didefinisikan sebagai

F^{- 1} (p) = inf {x \in R : F (x) \geq p} .

$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$

$p$ $x$ $F(x)$ $p$ $x$ $F(x) \ge 0$ $x$ $x$

Fungsi tanpa invers

$-2$ $2$

Kasus penggunaan

Fungsi kuantil dapat digunakan untuk generasi acak seperti yang dijelaskan dalam Bagaimana cara kerja metode transformasi terbalik?

— Tim
sumber

Jawaban ini bekerja dengan baik sampai paragraf kedua dari belakang. Pada saat Anda tiba di sana, Anda telah menegaskan bahwa setiap CDF kontinu memiliki kebalikan tetapi kemudian Anda tampaknya telah menawarkan distribusi Normal sebagai contoh berlawanan dengan pernyataan itu. Itu berpotensi sangat membingungkan.

— whuber

@whuber kamu benar, menambahkan satu kalimat untuk membuatnya lebih jelas.

— Tim

Tim, dan saya menambahkan satu kata lagi untuk membuatnya lebih jelas :)

— amoeba berkata Reinstate Monica

@Tim jawaban yang bagus tapi bisakah Anda menjelaskan definisi invers cdf

F^{- 1} (u) = inf {x : F (x) \geq u}

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$

x

$x$

F (x) = p

$F(x)=p$

inf

$\inf$

F (x) \geq u

$F(x) \ge u$

inf

$\inf$ akan memberikan batas bawah terbesar, yaitu memperbaiki titik unik dan dengan demikian menentukan invers umum. Apakah ini masuk akal ?

— Alexander Cska

@AlexanderCska Ya, pada dasarnya, beberapa nilai F (x) lebih besar daripada u, jadi kami mengambil batas bawah, "nilai terkecil yang memenuhi kondisi ini".

— Tim

Tim memiliki jawaban yang sangat teliti. Kerja bagus!

Saya ingin menambahkan satu komentar lagi. Tidak setiap fungsi yang meningkat secara monoton memiliki fungsi terbalik. Sebenarnya hanya peningkatan / penurunan fungsi secara monoton yang memiliki fungsi terbalik.

Untuk meningkatkan cdf secara monoton yang tidak sepenuhnya meningkat secara monoton, kami memiliki fungsi kuantil yang juga disebut fungsi distribusi kumulatif terbalik. Anda dapat menemukan detail lebih lanjut di sini .

$F^{-1}$

— Tingguang Li
sumber