Bagaimana cara menambahkan dua variabel acak dependen?

Saya tahu, saya tidak bisa menggunakan konvolusi. Saya memiliki dua variabel acak A dan B dan mereka tergantung. Saya membutuhkan fungsi distributif A + B

random-variable non-independent

— Mesko
sumber

Jika A dan B tergantung, maka distribusi bersama A dan B diperlukan untuk tiba distribusi A + B.

— vinux

Saya tidak mengerti pertanyaanmu. Apa yang Anda ketahui dan mengapa Anda tidak bisa menggunakan konvolusi?

— Xi'an

Saya tahu fungsi distributif A dan B. f A dan B adalah dua variabel acak kontinu yang independen, maka saya dapat menemukan distribusi Z = A + B dengan mengambil konvolusi f (A) dan g (B): h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞ − ∞f (A) g (z − B) dA Tapi apa yang bisa saya lakukan, ketika mereka tidak independen? Maaf, jika ini pertanyaan bodoh.

— Mesko

Ini bukan pertanyaan bodoh Mesko, tetapi yang ditunjukkan orang adalah bahwa ia membutuhkan lebih banyak informasi. Jawabannya tergantung pada bagaimana

dan

gagal untuk mandiri. Penjelasan lengkap tentang hal itu diberikan oleh distribusi bersama

dan

, yang diminta Vinux. Xi'an menyelidiki sedikit lebih hati-hati tetapi benar-benar mencari jenis informasi yang sama untuk membantu Anda membuat kemajuan.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— whuber

Jawaban:

Seperti yang ditunjukkan vinux, kita membutuhkan distribusi bersama dan , dan tidak jelas dari respons OP Mesko "Aku tahu fungsi distributif A dan B" bahwa dia mengatakan dia tahu distribusi bersama A dan B: dia mungkin boleh dikatakan bahwa dia tahu distribusi marjinal dari A dan B. Namun, dengan asumsi bahwa Mesko tahu distribusi bersama, jawabannya diberikan di bawah ini. $A$ $B$

Dari integral konvolusi dalam komentar OP Mesko (yang salah, omong-omong), dapat disimpulkan bahwa Mesko tertarik pada variabel acak kontinu bersama-sama dan dengan fungsi kerapatan probabilitas gabungan . Dalam hal ini, $A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$ Ketikadanbersifat independen, faktor fungsi kerapatan bersama menjadi produk dari fungsi kerapatan marginal:

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ dan kami mendapatkan formula konvolusi yang lebih umum untuk variabel acak independen. Hasil serupa juga berlaku untuk variabel acak diskrit.

$A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ $A+B$ $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ $F_{A+B}(z)$

— Dilip Sarwate
sumber

Ini terkait dengan komentar dan jawaban saya pada pertanyaan lain yang berhubungan dengan distribusi bersama beberapa hari yang lalu.

— Xi'an

Sebelumnya, saya tidak tahu apakah yang saya katakan benar tetapi saya terjebak pada masalah yang sama dan saya mencoba menyelesaikannya dengan cara ini:

f_{A, B} (a, b) = (a + b) H (a, b) H (- a + 1, - b + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$

f_{A, B} (a, b) = (a + b) (H (a) - H (a - 1)) (H (b) - H (b - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$

Ini adalah perpaduan wolfram dari persendian: A

Menghitung integral yang saya miliki: B

Plot: C

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$

— R.Lac
sumber

Pertanyaannya tampaknya tidak cukup spesifik tentang distribusi bersama untuk mendapatkan jawaban. Bagaimana Anda menghasilkan satu.?

— Michael R. Chernick

+1 untuk benar memecahkan dugaan counterexample dalam jawaban @ cdlg dan menunjukkan bahwa perhitungan jika dilakukan dengan benar memberikan jawaban yang benar, dan bukan hasil yang salah dalam jawaban cdlg. Saya tidak percaya bahwa jawaban itu menerima dua upvotes.

— Dilip Sarwate