Bagaimana minimum satu set variabel acak didistribusikan?

$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

Jika cdf dari dilambangkan dengan , maka cdf dari minimum diberikan oleh . F ( x ) 1 - [ 1 - F ( x ) ] $X_i$$F(x)$$1-[1-F(x)]^n$

Jika CDF dilambangkan dengan , maka CDF minimum diberikan oleh .$X_i$$F(x)$$1-[1-F(x)]^n$

Penalaran: diberikan variabel acak, probabilitas menyiratkan bahwa setidaknya satu lebih kecil dari .$n$$P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$$X_i$$y$

Probabilitas bahwa setidaknya satu lebih kecil dari setara dengan satu minus probabilitas bahwa semua lebih besar dari , yaitu .$X_i$$y$$X_i$$y$$P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$

Jika independen terdistribusi secara identik, maka probabilitas bahwa semua lebih besar dari adalah . Oleh karena itu, probabilitas aslinya adalah .$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

Contoh : misalnya , maka secara intuitif probabilitas harus sama dengan 1 (karena nilai minimum akan selalu kurang dari 1 sejak untuk semua ). Dalam hal ini dengan demikian probabilitas selalu 1.$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Rob Hyndman memberikan jawaban tepat yang mudah untuk sebuah n tetap. Jika Anda tertarik pada perilaku asimptotik untuk n besar, ini ditangani di bidang teori nilai ekstrem . Ada keluarga kecil yang mungkin membatasi distribusi; lihat misalnya bab-bab pertama buku ini .

Saya pikir jawaban 1- (1-F (x)) ^ n benar dalam kasus khusus. Kasus khusus adalah kondisi bahwa pmf rv didasarkan pada formula untuk domain rv. Jika berbeda di berbagai bagian domain, rumus yang disebutkan di atas sedikit menyimpang dari hasil simulasi yang sebenarnya.