Apakah jumlah dan produk dari dua matriks kovarians juga merupakan matriks kovarians?

12

Misalkan saya memiliki kovarians matriks dan . Manakah dari opsi ini yang kemudian juga merupakan matriks kovarian? $X$ $Y$

$X+Y$
$X^2$
$XY$

Saya memiliki sedikit kesulitan memahami apa yang sebenarnya dibutuhkan untuk sesuatu menjadi matriks kovarians. Saya kira itu dimaksudkan bahwa misalnya jika , dan bahwa untuk 1 tetap benar kita harus memiliki $X=\operatorname{cov}(X_1,X_2)$ $Y=\operatorname{cov}(Y_1,Y_2)$ , di mana dan adalah beberapa variabel acak lainnya. Namun, saya tidak bisa melihat mengapa itu berlaku untuk salah satu dari tiga opsi ini. Wawasan apa pun akan apprciated. $\operatorname{cov}(X_1,X_2) + \operatorname{cov}(Y_1,Y_2) = \operatorname{cov}(Z_1, Z_2)$ $Z_1$ $Z_2$

covariance covariance-matrix

— rbm
sumber

12

Latar Belakang

$\mathbb{A}$ $X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)^\prime$ $\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

\begin{matrix} (1) & Var (λ X) = λ A λ^{'} . \end{matrix}

$\operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.\tag{1}$

Dengan kata lain, aturan multiplikasi matriks menggambarkan aturan varians.

$\mathbb{A}$

$\lambda$
$0 \leq Var (λ X) = λ A λ^{'} .$ $0 \le \operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.$
$1\times 1$ $(1)$
$λ A λ^{'} = Var (λ X) = Var (λ X)^{'} = {(λ A λ^{'})}^{'} = λ A^{'} λ^{'} .$ $\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime = \operatorname{Var}(\lambda X) = \operatorname{Var}(\lambda X) ^\prime = \left(\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime\right)^\prime = \lambda \mathbb{A}^\prime \lambda ^\prime.$ $\lambda$ $\mathbb{A}$ $\mathbb{A}^\prime$

$\mathbb{A}$ $X$ $\mathbb{A}$ $X$ $f(x_1,\ldots, x_n)$

\log (f) \propto - \frac{1}{2} (x_{1}, \dots, x_{n}) A^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})^{'}

$\log(f) \propto -\frac{1}{2} (x_1,\ldots,x_n)\mathbb{A}^{-1}(x_1,\ldots,x_n)^\prime$

A

$\mathbb{A}$

A

$\mathbb{A}$

Solusi

$\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$

Jumlah.
- $(X + Y)^{'} = X^{'} + Y^{'} = (X + Y)$ $(\mathbb{X}+\mathbb{Y})^\prime = \mathbb{X}^\prime + \mathbb{Y}^\prime = (\mathbb{X} + \mathbb{Y})$
- $\lambda$ $λ (X + Y) λ^{'} = λ X λ^{'} + λ Y λ^{'} \geq 0 + 0 = 0$ $\lambda(\mathbb{X}+\mathbb{Y})\lambda^\prime = \lambda \mathbb{X}\lambda^\prime + \lambda \mathbb{Y}\lambda^\prime \ge 0 + 0 = 0$
Saya meninggalkan ini sebagai latihan.
$2\times 2$
$(\begin{matrix} a & b \\ b & a \end{matrix})$ $\pmatrix{a & b \\ b & a}$ $a^2 \ge b^2$ $a \ge 0$ $\mathbb{XY}$ $X = (\begin{matrix} a & - 1 \\ - 1 & a \end{matrix})$ $\mathbb{X} = \pmatrix{a & -1 \\ -1 & a}$ $a \ge 1$ $\mathbb{Y}$ $Y = (\begin{matrix} b & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $\mathbb{Y} = \pmatrix{b & 0 \\ 0 & 1}$ $b\ge 0$ $-1$ $1$
$\mathbb{XY}$ $a$ $b$

— whuber
sumber

13

Matriks nyata adalah matriks kovarians jika dan hanya jika semi-pasti simetris positif.

Petunjuk:

$X$ $Y$ $X+Y$ $z^TX z \ge 0$ $z$ $z^TY z \ge 0$ $z$ $z^T(X+Y)z$

$X$ $X^2$ $X$ $X^2$

$X$ $Y$ $XY$

— Mark L. Stone
sumber