Intuisi di balik distribusi kuasa hukum

Saya tahu bahwa pdf dari distribusi hukum kuasa adalah

$$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$$

Tapi apa artinya secara intuitif jika, misalnya, harga saham mengikuti distribusi kuasa hukum? Apakah ini berarti bahwa kerugian bisa sangat tinggi tetapi jarang terjadi?

Ini adalah distribusi berekor berat, karena cdf adalah

$$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$$ Jadi probabilitas untuk melebihi$x$,$(x/x_\min)^{1-\alpha}$dapat dibuat mendekatiangka$1$dengan pilihantepat$\alpha$. Sebagai contoh, jika seseorang ingin probabilitas untuk melebihi$10^u x_\min$setidaknya$0.9$, seseorang harus memilih$\alpha$paling banyak $$1-\log_{10}(0.9)/u$$ kurva yang ditunjukkan di bawah ini, dengan sumbu pertama diskalakan oleh , bukan 10 u x mnt ... $u$$10^u x_\min$

Ini bukan sumber peer-review, tapi saya suka catatan ini oleh profesor statistik CMU Cosma Shalizi . Dia juga seorang penulis di artikel ini , tentang memperkirakan hal-hal seperti itu dari data.

Makalah Hukum Daya dalam Ekonomi dan Keuangan dapat membantu mendapatkan intuisi tentang undang-undang kekuasaan. Xavier Gabaix menyatakan bahwa hukum kekuasaan (PL) adalah bentuk yang diambil oleh sejumlah besar keteraturan empiris yang mengejutkan di bidang ekonomi dan keuangan. Ulasannya mensurvei PL empiris yang terdokumentasi dengan baik mengenai pendapatan dan kekayaan, ukuran kota dan perusahaan, pengembalian pasar saham, volume perdagangan, perdagangan internasional, dan gaji eksekutif.

Intuisi untuk distribusi Pareto

Pareto (wikipedia) awalnya menggambarkan alokasi kekayaan di antara individu: sebagian besar kekayaan masyarakat mana pun dimiliki oleh sebagian kecil orang. Idenya diungkapkan lebih sederhana sebagai prinsip Pareto atau "aturan 80-20" mengatakan bahwa 20% dari populasi mengendalikan 80% dari kekayaan.

Distribusi pendapatan dan kekayaan yang tepat sering menyerupai Pareto

Jika distribusi pendapatan adalah Pareto, maka seseorang dapat memperoleh ekspresi sederhana untuk bagian atas 1%, atau atas 10%. Maka bagian persentase total qth atas dari total penghasilan dapat diperoleh sebagai:

$$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$$

di mana adalah parameter bentuk. Ungkapan ini menyiratkan bahwa α yang lebih rendah sesuai dengan ekor yang lebih tebal dari distribusi Pareto dan dengan demikian menjadi bagian yang lebih besar dari total pendapatan yang ditangkap oleh individu-individu pada persentil distribusi yang lebih tinggi. Misalnya, dengan α = 2 , bagian 1% teratas adalah 10%, dan dengan α = 3 , itu adalah 4%.$\alpha \geq 1$$\alpha$$\alpha=2$$\alpha=3$

$X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$$Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$$X$

$Y$$X$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$$\ln \delta$$x$$x, x' > x_\min$$\ln \delta$

$$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$$

$^\dagger$

---

$^\dagger$