Cara mengekspresikan sel-sel tabel 2x2 dalam hal koefisien phi dan probabilitas marginal

Pertimbangkan tabel frekuensi 2x2 yang umum (diperlihatkan dalam gambar ini): Notasi: Variabel baris dilambangkan R dan mengambil nilai 0 atau 1; variabel kolom dilambangkan C dan mengambil nilai 0 atau 1. Sel-sel tabel mengindikasikan frekuensi setiap kombinasi R dan C; misalnya, adalah frekuensi R = 0 dan C = 1. Untuk keperluan pertanyaan saya, asumsikan bahwa jumlah sel dibagi dengan total, sehingga nilai sel adalah probabilitas gabungan dari sel .

$b$

Saya ingin menyatakan probabilitas sel dalam hal koefisien phi (yang merupakan ukuran korelasi dengan rumus yang disediakan di bawah) dan probabilitas marginal: dan . Yaitu, saya ingin membalikkan sistem empat persamaan berikut: dan, tentu saja, . Dengan kata lain, saya ingin menyelesaikan untuk , , , dan dalam hal $\mu_R\equiv p(R\!=\!1) = c+d$ $\mu_C\equiv p(C\!=\!1) = b+d$

\begin{aligned} (by defn) & ϕ & \equiv (a d - b c) / \sqrt{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} \\ (by defn) & μ_{R} & = c + d \\ (by defn) & μ_{C} & = b + d \\ (constraint) & 1 & = a + b + c + d \end{aligned}

$\begin{align} \phi &\equiv (ad-bc)/\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \tag{by defn}\\ \mu_{R} &= c+d \tag{by defn}\\ \mu_{C} &= b+d \tag{by defn}\\ 1 &= a+b+c+d \tag{constraint} \end{align}$

0 \leq a, b, c, d \leq 1

$0 \le a,b,c,d \le 1$ $a$ $b$ $c$ $d$ $\phi$ , , dan . $\mu_{R}$ $\mu_{C}$

Masalah ini mungkin telah dipecahkan oleh seseorang sebelumnya, tetapi pencarian saya belum menghasilkan sumber, dan upaya aljabar saya yang lemah belum menghasilkan jawaban, dan saya tidak dapat menemukan inverter sistem-of- (nonlinear)-line yang menangani kasus ini .

contingency-tables simultaneous-equation

— John K. Kruschke
sumber

Kami dengan mudah mengenali setiap faktor dalam penyebut , karena dan . Karena itu, mari kita mulai dengan penyederhanaan kecil untuk menghindari penulisan banyak akar kuadrat: $\phi$ $a+b=1-\mu_R$ $a+c=1-\mu_C$

Δ = a d - b c = ϕ \sqrt{μ_{R} (1 - μ_{R}) μ_{C} (1 - μ_{C})} .

$\Delta=ad - bc = \phi \sqrt{\mu_R(1-\mu_R)\mu_C(1-\mu_C)}.$

Mari temukan : $d$

\begin{aligned} d & = (1) d = (a + b + c + d) d = a d + b d + c d + d^{2} \\ = a d + (- b c + b c) + b d + c d + d^{2} \\ = (a d - b c) + (c + d) (b + d) \\ = Δ + μ_{R} μ_{C} . \end{aligned}

$\eqalign{d &= (1)d = (a+b+c+d)d = ad +bd +cd + d^2 \\ &= ad + (-bc + bc) + bd + cd + d^2 \\ &= (ad - bc) + (c+d)(b+d) \\&= \Delta + \mu_R\mu_C.}$

Menemukan , , dan menghasilkan sama karena simetri masalah: menukar kolom menukar dan , dan , sambil mengubah menjadi dan meniadakan , di mana $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$ $d$ $\mu_C$ $1-\mu_C$ $\Delta$

c = - Δ + μ_{R} (1 - μ_{C}) .

$c = -\Delta + \mu_R(1-\mu_C).$

Menukar baris menukar dan , dan , sambil mengubah menjadi dan meniadakan , dari mana $a$ $c$ $b$ $d$ $\mu_R$ $1-\mu_R$ $\Delta$

b = - Δ + (1 - μ_{R}) μ_{C} .

$b = -\Delta + (1-\mu_R)\mu_C.$

Mengganti baris dan kolom menghasilkan

a = Δ + (1 - μ_{R}) (1 - μ_{C}) .

$a = \Delta + (1-\mu_R)(1-\mu_C).$

Dengan ungkapan berikut untuk , mudah untuk memeriksa bahwa dan , dan hanya sedikit lebih sulit untuk verifikasi . $a,b,c,d$ $a+b+c+d=1, c+d=\mu_R,$ $b+d=\mu_C$ $ad-bc=\Delta$

— whuber
sumber

Satu catatan untuk orang lain yang mungkin menggunakan jawaban (benar!) Ini: Ini dapat menghasilkan nilai a, b, c, atau d yang negatif. Dengan kata lain, tidak semua kombinasi phi pada [-1,1], mu_R dalam [0,1], dan mu_C dalam [0,1] dapat dibuat dengan matriks probabilitas. Kepada Whuber: Terima kasih!

— John K. Kruschke

Itu benar, John, tetapi saya tidak menyebutkan fakta itu karena mungkin , , dan telah diperoleh dari tabel yang valid. Dengan asumsi dan adalah frekuensi yang valid (dalam interval ), akan menjadi nyata. Itu harus terletak pada interval

μ_{R}

$\mu_R$

μ_{C}

$\mu_C$

ϕ

$\phi$

μ_{R}

$\mu_R$

μ_{C}

$\mu_C$

[0, 1]

$[0,1]$

Δ

$\Delta$

[- min (μ_{R} μ_{C}, (1 - μ_{R}) (1 - μ_{C})), min (μ_{R} (1 - μ_{C}), (1 - μ_{R}) μ_{C})] .

$[-\min(\mu_R\mu_C, (1-\mu_R)(1-\mu_C)), \ \min(\mu_R(1-\mu_C), (1-\mu_R)\mu_C)].$

— whuber