Yang "berarti" untuk digunakan dan kapan?

Jadi kita memiliki mean aritmatika (AM), mean geometrik (GM) dan rata-rata harmonik (HM). Formulasi matematis mereka juga terkenal bersama dengan contoh-contoh stereotip mereka yang terkait (misalnya, rata-rata Harmonik dan aplikasinya untuk masalah-masalah terkait 'kecepatan').

Namun, pertanyaan yang selalu membuat saya penasaran adalah "bagaimana cara saya memutuskan mana yang paling tepat untuk digunakan dalam konteks tertentu?" Harus ada setidaknya beberapa aturan praktis untuk membantu memahami penerapan, namun jawaban paling umum yang saya temui adalah: "Itu tergantung" (tetapi pada apa?).

Ini mungkin tampaknya menjadi pertanyaan yang agak sepele, tetapi bahkan teks sekolah menengah gagal menjelaskan ini - mereka hanya memberikan definisi matematika!

Saya lebih suka penjelasan bahasa Inggris daripada matematika - tes sederhana adalah "apakah ibu / anak Anda memahaminya?"

Jawaban ini mungkin memiliki sedikit bengkok matematis daripada yang Anda cari.

Hal yang penting untuk dikenali adalah bahwa semua cara ini hanyalah rata-rata aritmatika yang menyamar .

Karakteristik penting dalam mengidentifikasi mana (jika ada!) Dari tiga cara umum (aritmatika, geometris atau harmonik) adalah rata-rata "benar" adalah untuk menemukan "struktur aditif" dalam pertanyaan yang dihadapi.

Dengan kata lain misalkan kita diberi beberapa jumlah abstrak , yang akan saya sebut "pengukuran", agak menyalahgunakan istilah ini di bawah demi konsistensi. Masing-masing dari ketiga cara ini dapat diperoleh dengan (1) mengubah setiap x i menjadi beberapa y i , (2) mengambil rata-rata aritmatika dan kemudian (3) mentransformasikan kembali ke skala pengukuran asli.$x_1, x_2,\ldots,x_n$$x_i$$y_i$

Berarti aritmatika : Jelas, kami menggunakan transformasi "identitas": . Jadi, langkah (1) dan (3) sepele (tidak ada yang dilakukan) dan ˉ x A M = ˉ y .$y_i = x_i$$\bar x_{\mathrm{AM}} = \bar y$

Berarti geometris : Di sini struktur aditif adalah pada logaritma pengamatan asli. Jadi, kita ambil dan kemudian untuk mendapatkan GM di langkah (3) kita mengonversi kembali melalui fungsi invers dari log , yaitu, ˉ x G M = exp ( ˉ y ) .$y_i = \log x_i$$\log$$\bar x_{\mathrm{GM}} = \exp(\bar{y})$

Rata-rata harmonik : Di sini struktur aditif berada pada kebalikan dari pengamatan kami. Jadi, , dari mana ˉ x H M = 1 / ˉ y .$y_i = 1/x_i$$\bar x_{\mathrm{HM}} = 1/\bar{y}$

Dalam masalah fisik, ini sering muncul melalui proses berikut: Kami memiliki sejumlah yang tetap dalam kaitannya dengan pengukuran kami x 1 , … , x n dan beberapa jumlah lainnya, katakanlah z 1 , … , z n . Sekarang, kita memainkan permainan berikut: Usahakan w dan z 1 + ⋯ + z n konstan dan cobalah untuk menemukan beberapa ˉ x sehingga jika kita mengganti setiap pengamatan individual kita x i dengan ˉ $w$$x_1,\ldots,x_n$$z_1,\ldots,z_n$$w$$z_1+\cdots+z_n$$\bar x$$x_i$$\bar x$, maka hubungan "total" masih dilestarikan .

Contoh jarak – kecepatan – waktu tampaknya populer, jadi mari kita gunakan.

Jarak konstan, waktu bervariasi

Pertimbangkan jarak tetap yang ditempuh . Sekarang anggaplah kita perjalanan jarak ini n waktu yang berbeda pada kecepatan v 1 , ... , v n , mengambil kali t 1 , ... , t n . Kami sekarang memainkan permainan kami. Misalkan kita ingin mengganti kecepatan kita masing-masing dengan beberapa kecepatan tetap ˉ v sehingga total waktu tetap konstan. Perhatikan bahwa kita memiliki d - v i t i = $d$$n$$v_1,\ldots,v_n$$t_1,\ldots,t_n$$\bar v$ sehingga β i ( d - v i t i ) = 0 . Kami inginhubungantotalini(total waktu dan total jarak yang ditempuh) dilestarikan ketika kami mengganti masing-masing v i dengan ˉ v dalam game kami. Oleh karena itu, n d - ˉ v Σ i t i =

$$d - v_i t_i = 0 \>,$$ $\sum_i (d - v_i t_i) = 0$$v_i$$\bar v$ Dan karena masing-masing t i = d / v i , kita mendapatkan bahwa ˉ v = $$n d - \bar v \sum_i t_i = 0 \>,$$ $t_i = d / v_i$ $$\bar v = \frac{n}{\frac{1}{v_1}+\cdots+\frac{1}{v_n}} = \bar v_{\mathrm{HM}} \>.$$

Perhatikan bahwa "struktur aditif" di sini berkenaan dengan waktu individu, dan pengukuran kami berbanding terbalik dengan mereka, maka rata-rata harmonik berlaku.

Memvariasikan jarak, waktu konstan

Sekarang, mari kita ubah situasinya. Misalkan untuk contoh kita perjalanan waktu yang tetap t pada kecepatan v 1 , ... , v n jarak d 1 , ... , d n . Sekarang, kami ingin jarak total dilestarikan. Kami memiliki d i - v i t = $n$$t$$v_1,\ldots,v_n$$d_1,\ldots,d_n$ dan sistem total dilestarikan jika ∑ i ( d i - v i t ) = 0 . Dengan memainkan permainan kami lagi, kami mencari ˉ v sedemikian rupa sehingga ∑ i ( d i - ˉ v t ) =

$$d_i - v_i t = 0 \>,$$ $\sum_i (d_i - v_i t) = 0$$\bar v$ tapi, karena d i = v i t , kita dapat ˉ v = $$\sum_i (d_i - \bar v t) = 0 \>,$$ $d_i = v_i t$ $$\bar v = \frac{1}{n} \sum_i v_i = \bar v_{\mathrm{AM}} \>.$$

Di sini struktur aditif yang kita coba pertahankan sebanding dengan pengukuran yang kita miliki, sehingga rata-rata aritmatika berlaku.

Kubus volume yang sama

$n$$V$

$$V = x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \>,$$ $n$$x_i$$\bar x$ $$V = \bar x \cdot \bar x \cdots \bar x = \bar x^n \>.$$

$\bar x = (x_i \cdots x_n)^{1/n} = \bar x_{\mathrm{GM}}$

$\log V = \sum_i \log x_i$

Sarana baru dari yang lama

$d_i$$v_i$$t_i$$\bar v$

Latihan : Apa arti "alami" dalam situasi ini?

Memperluas komentar luar biasa @Brandon (yang menurut saya harus dipromosikan untuk menjawab):

Rerata geometris harus digunakan ketika Anda tertarik pada perbedaan multiplikasi. Brandon mencatat bahwa rata-rata geometrik harus digunakan ketika rentangnya berbeda. Ini biasanya benar. Alasannya adalah kami ingin menyamakan rentang. Sebagai contoh, misalkan pelamar kuliah dinilai pada skor SAT (0 hingga 800), nilai rata-rata kelas di HS (0 hingga 4) dan kegiatan ekstrakurikuler (1 hingga 10). Jika sebuah perguruan tinggi ingin meratakan ini dan menyamakan kisaran (yaitu, kenaikan berat dalam setiap kualitas relatif terhadap kisaran) maka rerata geometris akan menjadi jalan yang harus ditempuh.

Tetapi ini tidak selalu benar ketika kita memiliki skala dengan rentang yang berbeda. Jika kita membandingkan pendapatan di negara yang berbeda (termasuk yang miskin dan kaya), kita mungkin tidak menginginkan rata-rata geometris, tetapi rata-rata aritmatika (atau, lebih mungkin, median atau mungkin rata-rata yang dipangkas).

Satu-satunya penggunaan yang saya lihat untuk rata-rata harmonik adalah membandingkan tingkat. Sebagai contoh: Jika Anda berkendara dari New York ke Boston pada 40 MPH, dan kembali pada 60 MPH, maka rata-rata keseluruhan Anda bukan rata-rata aritmatika 50 MPH, tetapi rata-rata harmonik.

$(40 + 60)/2 = 50$$2/(1/40 + 1/60) = 48$

$240/5 = 48$

Saya akan mencoba merebusnya menjadi 3-4 aturan praktis dan memberikan beberapa contoh lagi cara Pythagoras.

Hubungan antara 3 berarti adalah HM <GM <AM untuk data non-negatif dengan beberapa variasi . Mereka akan sama jika dan hanya jika tidak ada variasi sama sekali dalam data sampel.

Untuk data dalam level, gunakan AM. Harga adalah contoh yang bagus. Untuk rasio, gunakan GM. Pengembalian investasi, harga relatif seperti indeks Bloomberg Billy (harga rak buku Ikea Billy di berbagai negara dibandingkan dengan harga AS) dan Indeks Pembangunan Manusia PBB adalah contoh. HM tepat ketika berhadapan dengan kurs. Berikut adalah contoh milik David Giles dari non-otomotif :

Misalnya, pertimbangkan data "jam kerja per minggu" (tarif). Misalkan kita memiliki empat orang (pengamatan sampel), masing-masing bekerja total 2.000 jam. Namun, mereka bekerja untuk jumlah jam yang berbeda per minggu, sebagai berikut:

Person      Total Hours       Hours per Week          Weeks Taken
1                  2,000                  40                   50
2                  2,000                  45                   44.4444
3                  2,000                  35                   57.142857
4                  2,000                  50                   40

Total:           8,000                                       191.587297

Nilai rata-rata aritmatika pada kolom ketiga adalah AM = 42,5 jam per minggu. Namun, perhatikan apa artinya nilai ini. Membagi jumlah total minggu yang dikerjakan oleh anggota sampel (8.000) dengan nilai rata-rata ini menghasilkan nilai 188.2353 sebagai jumlah total minggu yang dikerjakan oleh keempat orang.

Sekarang lihat kolom terakhir pada tabel di atas. Faktanya nilai yang benar untuk total jumlah minggu yang dikerjakan oleh anggota sampel adalah 191,5873 minggu. Jika kita menghitung Harmonic Mean untuk nilai-nilai untuk Jam per Minggu di kolom ketiga dari tabel kita mendapatkan HM = 41,75642 jam (<AM), dan membagi angka ini menjadi 8,000 jam memberi kita hasil yang benar dari 191,5873 untuk jumlah total minggu bekerja. Ini adalah kasus di mana Harmonic Mean memberikan ukuran yang sesuai untuk rata-rata sampel.

David juga membahas versi tertimbang dari 3 cara, yang muncul dalam indeks harga yang digunakan untuk mengukur inflasi.

A Hijacky Aside:

ROT ini tidak sempurna. Sebagai contoh, saya sering merasa sulit untuk mencari tahu apakah ada yang menilai atau rasio. Pengembalian investasi biasanya diperlakukan sebagai rasio ketika menghitung sarana, tetapi mereka juga tingkat karena mereka biasanya didenominasikan dalam "x% per unit waktu." Apakah "menggunakan HM ketika data adalah level per unit waktu" menjadi heuristik yang lebih baik?

Jika Anda ingin meringkas Indeks Big Mac untuk negara-negara Eropa Utara, apakah Anda akan menggunakan GM?

Sebuah jawaban yang mungkin untuk pertanyaan Anda ("bagaimana saya memutuskan mean mana yang paling tepat untuk digunakan dalam konteks tertentu?") Adalah definisi mean yang diberikan oleh matematikawan Italia Oscar Chisini .

Berikut ini makalah dengan penjelasan yang lebih rinci dan beberapa contoh (rata-rata kecepatan perjalanan dan lain-lain).

Saya pikir cara sederhana untuk menjawab pertanyaan itu adalah:

1. Jika struktur matematika adalah xy = k (hubungan terbalik antara variabel) dan Anda sedang mencari rata-rata, maka Anda perlu menggunakan rata-rata harmonik - yang berarti rata-rata aritmatika tertimbang - pertimbangkan

Rata-rata harmonik = 2ab / (a ​​+ b) = a (b / a + b) + b (a / (a ​​+ b)

Misalnya: rata-rata biaya dolar termasuk dalam kategori ini karena jumlah uang yang Anda investasikan (A) tetap, tetapi harga per saham (P) dan jumlah saham (N) berbeda-beda (A = PN). Bahkan, jika Anda menganggap rata-rata aritmatika sebagai angka yang sama-sama berpusat di antara dua angka, rata-rata harmonik juga merupakan angka yang sama-sama berpusat di antara dua angka tetapi (dan ini bagus) "pusat" adalah tempat persentase (rasio) berada sama. Yaitu: (x - a) / a = (b -x) / b, di mana x adalah rata-rata harmonik.

2. Jika struktur matematis adalah variasi langsung y = kx, Anda menggunakan rata-rata aritmatika - yang berarti pengurangan harmonik dalam kasus ini.