Apakah dua kuantil dari distribusi beta menentukan parameternya?

Jika saya memberikan dua kuantil $(q_1,q_2)$ dan lokasi yang sesuai (masing-masing) dalam interval terbuka , bisakah saya selalu menemukan parameter distribusi beta yang memiliki kuantil tersebut pada yang ditentukan lokasi?$(l_1,l_2)$$(0,1)$

Jawabannya adalah ya, asalkan data memenuhi persyaratan konsistensi yang jelas. Argumennya langsung, berdasarkan konstruksi sederhana, tetapi memerlukan beberapa pengaturan. Ia datang ke sebuah fakta intuitif menarik: meningkatkan parameter $a$ di Beta $(a,b)$ distribusi meningkatkan nilai densitas (PDF) lebih untuk yang lebih besar $x$ dari kecil $x$ ; dan meningkatkan $b$ melakukan kebalikannya: semakin kecil $x$ , semakin banyak nilai PDF meningkat.

Detailnya mengikuti.

Biarkan kuantil $q_1$ diinginkan menjadi $x_1$ dan kuantil $q_2$ diinginkan menjadi $x_2$ dengan $1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$ dan (karenanya) $1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$ . Lalu ada $a$ dan $b$ unik dimana distribusi Beta $(a,b)$ memiliki kuantil ini.

Kesulitan dengan menunjukkan ini adalah bahwa distribusi Beta melibatkan konstanta normal yang bandel. Ingat definisi: untuk $a\gt 0$ dan $b \gt 0$ , distribusi Beta $(a,b)$ memiliki fungsi kerapatan (PDF)

Konstanta normalisasi adalah fungsi Beta

Semuanya menjadi berantakan jika kita mencoba untuk membedakan $f(x;a,b)$ secara langsung sehubungan dengan $a$ dan $b$ , yang akan menjadi cara kasar untuk mencoba demonstrasi.

Salah satu cara untuk menghindari keharusan menganalisis fungsi Beta adalah dengan mencatat bahwa kuantil adalah area relatif . Itu adalah,

untuk $i=1,2$ . Di sini, misalnya, adalah PDF dan fungsi distribusi kumulatif (CDF) $F$ dari Beta $(1.15, 0.57)$ distribusi untuk yang $x_1=1/3$ dan $q_1=1/6$ .

Fungsi kerapatan $x\to f(x;a,b)$ diplot di sebelah kiri. $q_1$ adalah area di bawah kurva di sebelah kiri $x_1$ , ditunjukkan dengan warna merah, relatif terhadap total area di bawah kurva. $q_2$ adalah area di sebelah kiri $x_2$ , sama dengan jumlah dari daerah merah dan biru, sekali lagi relatif terhadap total area . CDF di sebelah kanan menunjukkan bagaimana $(x_1,q_1)$ dan $(x_2,q_2)$ tandai dua titik berbeda di atasnya.

Dalam gambar ini, $(x_1,q_1)$ tetap pada $(1/3,1/6)$ , $a$ terpilih menjadi $1.15$ , dan kemudian nilai $b$ ditemukan yang $(x_1,q_1)$ kebohongan di Beta $(a,b)$ CDF.

Lemma : huruf $b$ selalu dapat ditemukan.

Untuk lebih spesifik, biarkan $(x_1, q_1)$ diperbaiki sekali dan untuk semua. (Mereka tetap sama dalam ilustrasi yang mengikuti: dalam ketiga kasus, area relatif ke kiri $x_1$ sama dengan $q_1$ ) Untuk setiap $a\gt 0$ , Lemma mengklaim ada nilai unik dari $b$ , ditulis $b(a),$ yang $x_1$ adalah $q_1$ kuantil dari Beta $(a,b(a))$ distribusi.

Untuk melihat alasannya, catat dulu bahwa ketika $b$ mendekati nol, semua probabilitas menumpuk mendekati nilai $0$ , di mana $F(x_1;a,b)$ mendekati $1$ . Ketika $b$ mendekati tak terhingga, semua probabilitas menumpuk mendekati nilai $1$ , di mana $F(x_1;a,b)$ mendekati $0$ . Di antaranya, fungsi $b\to F(x_1;a,b)$benar-benar meningkat dalam $b$ .

Klaim ini jelas secara geometris: sama dengan mengatakan bahwa jika kita melihat area di sebelah kiri di bawah kurva $x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ relatif terhadap total area di bawah kurva dan membandingkannya dengan area relatif di bawah kurva $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$ untuk $b^\prime \gt b$ , maka area terakhir relatif lebih besar. Rasio kedua fungsi ini adalah$(1-x)^{b^\prime-b}$ . Ini adalah fungsi sama untuk$1$ saat$x=0,$ menurun terus ke$0$ ketika$x=1.$ Oleh karena itu ketinggian fungsi$x\to f(x;a,b^\prime)$ yangrelatif lebih besardibandingkan dengan ketinggian$x\to f(x;a,b)$ untuk$x$ di sebelah kiri$x_1$ daripada untuk$x$ di sebelah kanan$x_1.$ Akibatnya,areadi sebelah kiri$x_1$ di bekas harusrelatiflebih besar dari area di sebelah kanan$x_1.$ (Ini mudah untuk diterjemahkan ke dalam argumen yang ketat menggunakan jumlah Riemann, misalnya.)

Kita telah melihat bahwa fungsi $b\to f(x_1;a,b)$ secara ketat meningkat secara monoton dengan nilai pembatas pada $0$ dan $1$ sebagai $b\to 0$ dan $b\to\infty,$ masing-masing. Ini juga (jelas) berkelanjutan. Akibatnya ada angka $b(a)$ mana $f(x_1;a,b(a))=q_1$ dan angka itu unik, membuktikan lemma.

Argumen yang sama menunjukkan bahwa ketika $b$ bertambah, area di sebelah kiri $x_2$ meningkat. Akibatnya nilai-nilai $f(x_2;a, b(a))$ berbagai atas beberapa interval angka sebagai $a$ kemajuan dari hampir $0$ hampir $\infty.$ Batas $f(x_2;a,b(a))$ sebagai $a\to 0$ adalah $q_1.$

Berikut adalah contoh di mana $a$ mendekati $0$ (sama dengan $0.1$ ). Dengan $x_1=1/3$ dan $q_1=1/6$ (seperti pada gambar sebelumnya), $b(a) \approx 0.02.$ Hampir tidak ada area antara $x_1$ dan $x_2:$

CDF praktis datar antara $x_1$ dan $x_2,$ mana $q_2$ praktis di atas $q_1.$ Dalam batas sebagai $a\to 0$ , $q_2 \to q_1.$

Pada ekstrem yang lain, nilai-nilai yang cukup besar $a$ menyebabkan $F(x_2;a,b(a))$ sewenang-wenang dekat dengan $1.$ Berikut adalah contoh dengan $(x_1,q_1)$ seperti sebelumnya.

Di sini $a=8$ dan $b(a)$ hampir $10.$ Sekarang $F(x_2;a,b(a))$ pada dasarnya adalah $1:$ hampir tidak ada area di sebelah kanan $x_2.$

Akibatnya, Anda dapat memilih salah $q_2$ antara $q_1$ dan $1$ dan menyesuaikan $a$ sampai $F(x_2;a,a(b))=q_2.$ Sama seperti sebelumnya, ini $a$ harus unik, QED .

RKode kerja untuk menemukan solusi diposting di Menentukan parameter distribusi beta dan β dari dua titik arbitrer (kuantil)$\alpha$$\beta$ .