Paradoks statistik paling menarik

112

Karena saya menemukan mereka menarik, saya ingin mendengar apa yang orang-orang di komunitas ini temukan sebagai paradoks statistik paling menarik dan mengapa.

paradox

— Nick
sumber

1

Beberapa contoh kecil, terutama dalam konteks survei, di sini: filipspagnoli.wordpress.com/category/statistics/…

— Charlie

100

Ini bukan paradoks per se , tetapi ini adalah komentar yang membingungkan, setidaknya pada awalnya.

Selama Perang Dunia II, Abraham Wald adalah ahli statistik untuk pemerintah AS. Dia melihat para pembom yang kembali dari misi dan menganalisis pola "luka" peluru di pesawat. Dia merekomendasikan bahwa Angkatan Laut memperkuat daerah-daerah di mana pesawat tidak mengalami kerusakan.

Mengapa? Kami memiliki efek seleksi di tempat kerja. Sampel ini menunjukkan bahwa kerusakan yang ditimbulkan di daerah yang diamati dapat bertahan. Entah pesawat tidak pernah menabrak di daerah yang tidak tersentuh, proposisi yang tidak mungkin, atau serangan ke bagian-bagian itu mematikan. Kami peduli dengan pesawat yang jatuh, bukan hanya yang kembali. Mereka yang jatuh kemungkinan menderita serangan di tempat yang tak tersentuh pada mereka yang selamat.

Untuk salinan memorandum aslinya, lihat di sini . Untuk aplikasi yang lebih modern, lihat posting blog Scientific American ini .

Memperluas tema, menurut posting blog ini , selama Perang Dunia I, pengenalan helm timah menyebabkan luka kepala lebih dari topi kain standar. Apakah helm baru itu lebih buruk untuk prajurit? Tidak; meskipun cedera lebih tinggi, kematian lebih rendah.

— Charlie
sumber

3

Saya ingat pernah membaca ini di beberapa tempat sebelumnya, tetapi saya tidak memiliki referensi. Apakah ada yang bisa Anda tambahkan?

— kardinal

1

@ kardinal, saya menemukan beberapa memo untuk Anda. Sepertinya penelitian itu sebenarnya untuk AS

— Charlie

Di suatu tempat, ada sebar pesawat hipotetis untuk contoh ini, tetapi saya tidak dapat menemukannya.

— Fomite

+1. Ini adalah contoh Bias Survivorship , mungkin bias yang paling merugikan. Saya mengembangkannya sebagai jawaban.

— Cliff AB

47

Contoh lain adalah kekeliruan ekologis .

Contoh
Misalkan kita mencari hubungan antara pemberian suara dan pendapatan dengan meregreskan pembagian suara untuk Senator Obama saat itu dengan median pendapatan negara (dalam ribuan). Kami mendapatkan intersepsi sekitar 20 dan koefisien kemiringan 0,61.

Banyak yang akan menafsirkan hasil ini dengan mengatakan bahwa orang yang berpenghasilan lebih tinggi cenderung memilih Demokrat; memang, buku pers populer telah membuat argumen ini.

Tapi tunggu, saya pikir orang kaya lebih cenderung menjadi Republikan? Mereka.

Apa yang sebenarnya dikatakan oleh regresi ini adalah bahwa negara - negara kaya lebih cenderung memilih Demokrat dan negara - negara miskin lebih cenderung memilih Partai Republik. Dalam negara tertentu , orang kaya lebih cenderung memilih Partai Republik dan orang miskin lebih cenderung memilih Demokrat. Lihat karya Andrew Gelman dan rekan penulisnya .

Tanpa asumsi lebih lanjut, kami tidak dapat menggunakan data tingkat grup (agregat) untuk membuat kesimpulan tentang perilaku tingkat individu. Ini adalah kekeliruan ekologis. Data tingkat grup hanya dapat memberi tahu kami tentang perilaku tingkat grup.

Untuk membuat lompatan ke kesimpulan tingkat individu, kita memerlukan asumsi keteguhan . Di sini, pilihan suara individu paling tidak bervariasi secara sistematis dengan pendapatan rata-rata negara; seseorang yang menghasilkan $ X di negara kaya harus sama-sama memilih Demokrat sebagai seseorang yang mendapatkan $ X di negara miskin. Tetapi orang-orang di Connecticut, di semua tingkat pendapatan, lebih cenderung memilih Demokrat daripada orang-orang di Mississippi pada tingkat pendapatan yang sama . Oleh karena itu, asumsi konsistensi dilanggar dan kita mengarah pada kesimpulan yang salah (dibodohi oleh bias agregasi ).

Topik ini adalah hobi yang sering dilakukan oleh David Freedman ; lihat tulisan ini , misalnya. Dalam makalah itu, Freedman menyediakan sarana untuk mengikat probabilitas tingkat individu menggunakan data grup.

Membandingkan dengan paradoks Simpson
Di tempat lain dalam CW ini, @Michelle mengusulkan paradoks Simpson sebagai contoh yang baik, sebagaimana adanya. Paradoks Simpson dan kekeliruan ekologis terkait erat, namun berbeda. Dua contoh berbeda dalam sifat data yang diberikan dan analisis yang digunakan.

Formulasi standar dari paradoks Simpson adalah tabel dua arah. Dalam contoh kami di sini, anggaplah bahwa kami memiliki data individual dan kami mengklasifikasikan setiap individu sebagai berpenghasilan tinggi atau rendah. Kami akan mendapatkan tabel kontingensi 2x2 pendapatan-per-suara dari total. Kita akan melihat bahwa bagian yang lebih tinggi dari orang-orang berpenghasilan tinggi memilih Demokrat relatif dibandingkan dengan orang-orang berpenghasilan rendah. Jika kita membuat tabel kontingensi untuk setiap negara bagian, namun, kita akan melihat pola yang berlawanan.

Dalam kekeliruan ekologis, kita tidak menciutkan pendapatan menjadi variabel dikotomis (atau mungkin multikotomi). Untuk mendapatkan tingkat negara bagian, kita mendapatkan rata-rata (atau median) pendapatan negara dan bagian suara negara bagian dan menjalankan regresi dan menemukan bahwa negara-negara berpendapatan tinggi lebih cenderung memilih Demokrat. Jika kami menyimpan data tingkat individu dan menjalankan regresi secara terpisah oleh negara, kami akan menemukan efek sebaliknya.

Singkatnya, perbedaannya adalah:

Cara analisis : Kita dapat mengatakan, mengikuti keterampilan persiapan SAT kami, bahwa paradoks Simpson adalah untuk tabel kontingensi karena kekeliruan ekologis adalah koefisien korelasi dan regresi.
Derajat agregasi / sifat data : Sedangkan contoh paradoks Simpson membandingkan dua angka (pembagian suara Demokrat di antara individu berpenghasilan tinggi dengan yang sama untuk individu berpenghasilan rendah), kekeliruan ekologis menggunakan 50 titik data ( yaitu , setiap negara bagian) untuk menghitung koefisien korelasi . Untuk mendapatkan cerita lengkap dari contoh paradoks Simpson, kita hanya perlu dua angka dari masing-masing dari lima puluh negara bagian (100 angka), sedangkan dalam kasus fallacy ekologis, kita memerlukan data tingkat individu (atau diberikan korelasi tingkat negara / kemiringan regresi).

Pengamatan umum
@NeilG berkomentar bahwa ini sepertinya mengatakan bahwa Anda tidak dapat memiliki pilihan pada variabel bias yang tidak dapat diobservasi / dihilangkan dalam regresi Anda. Tepat sekali! Setidaknya dalam konteks regresi, saya pikir hampir semua "paradoks" hanyalah kasus khusus dari variabel yang dihilangkan yang bias.

Bias seleksi (lihat tanggapan saya yang lain tentang CW ini) dapat dikontrol dengan memasukkan variabel yang mendorong pemilihan. Tentu saja, variabel-variabel ini biasanya tidak teramati, mendorong masalah / paradoks. Regresi palsu (respons saya yang lain) dapat diatasi dengan menambahkan tren waktu. Kasus-kasus ini pada dasarnya mengatakan bahwa Anda memiliki cukup data, tetapi membutuhkan lebih banyak prediktor.

Dalam kasus kekeliruan ekologis, memang benar, Anda membutuhkan lebih banyak prediktor (di sini, lereng dan penyadapan khusus negara bagian). Tetapi Anda membutuhkan lebih banyak pengamatan, observasi individu, dan bukannya level kelompok, untuk memperkirakan hubungan-hubungan ini.

(Kebetulan, jika Anda memiliki seleksi ekstrim di mana variabel seleksi membagi perawatan dan kontrol dengan sempurna, seperti dalam contoh WWII yang saya berikan, Anda mungkin memerlukan lebih banyak data untuk memperkirakan regresi juga; di sana, pesawat jatuh.)

— Charlie
sumber

Bagaimana mungkin memformalkan asumsi konsistensi ? Kedengarannya seperti berasumsi bahwa tidak ada pembaur (kausal) yang hilang dari model seseorang.

— Neil G

2

Juga, contoh yang diberikan juga merupakan contoh paradoks Simpson karena pengondisian pada negara membalikkan korelasi antara pendapatan dan partai. Kapan kesalahan ekologis berbeda dari paradoks Simpson?

— Neil G

Saya juga akan menunjukkan bahwa membuat kesimpulan tentang asosiasi tingkat kelompok atau sebab-akibat berdasarkan asosiasi tingkat individu atau hubungan sebab akibat juga hanya buruk: kekeliruan atomistik, diartikulasikan dengan baik di sini: [Diez-Roux, 1998] Diez-Roux, AV (1998). Membawa konteks kembali ke epidemiologi: variabel dan kekeliruan dalam analisis multilevel. American Journal of Public Health , 88 (2): 216–222.

— Alexis

43

Kontribusi saya adalah paradoks Simpson karena:

alasan paradoks tidak intuitif bagi banyak orang, jadi
bisa sangat sulit untuk menjelaskan mengapa temuan itu adalah cara mereka menempatkan orang dalam bahasa Inggris yang sederhana.

versi paradoks: signifikansi statistik dari suatu hasil tampak berbeda tergantung pada bagaimana data dipartisi. Penyebabnya sering muncul karena variabel perancu.

Garis besar paradoks yang baik ada di sini .

— Michelle
sumber

4

+1, saya berpikir untuk menempatkannya sendiri. Bagi mereka yang tertarik, paradoks Simpson juga dibahas di CV di sini: stats.stackexchange.com/questions/21896

— gung

3

Ada beberapa contoh paradoks Simpson yang disebutkan di soal matematika ini .

— Mike Spivey

32

Tidak ada paradoks dalam statistik, hanya teka-teki yang menunggu untuk dipecahkan.

$x$ $2x$ $0.5x$ $1.25x$ $1.25$

— Alex Flint
sumber

E [B | A = a]

$E[B|A=a]$

E [B | A = a] = a = 2 a p + \frac{a}{2} (1 - p)

$E[B|A=a]=a=2ap+\frac{a}{2}(1-p)$

p = P r (A < B | A = a)

$p=Pr(A<B|A=a)$

p

$p$

p = \frac{1}{3}

$p=\frac{1}{3}$

E [A | B = b] = b = 2 b q + \frac{b}{2} (1 - q)

$E[A|B=b]=b=2bq+\frac{b}{2}(1-q)$

q = P r (B < A | B = b)

$q=Pr(B<A|B=b)$

q = \frac{1}{3}

$q=\frac{1}{3}$

6

Saya telah memberikan presentasi tentang paradoks ini di mana permainan sebenarnya dimainkan dengan penonton, dengan jumlah uang nyata (biasanya cek ke lembaga tuan rumah). Ini menarik perhatian mereka ...

— whuber

Pikirkan saya memecahkan yang satu ini ... Paradoks ini terpecahkan ketika kita mengenali dua paradoks amplop yang secara keliru mengusulkan 1) ada tiga kemungkinan jumlah: 0,5x, x, dan 2x, ketika hanya ada dua kuantitas dalam amplop (katakanlah x dan 2x), dan 2) bahwa kita seorang apriori tahu amplop kiri berisi x (dalam hal ini amplop kanan akan berisi 2x dengan kepastian 100%!). Diberi nilai yang mungkin dari x dan 2x yang ditetapkan secara acak ke dua amplop, jawaban yang benar adalah nilai yang diharapkan sebesar 1,5x apakah saya memilih amplop kiri atau amplop kanan.

— RobertF

3

@RobertF Situasinya lebih rumit. Misalkan diketahui bahwa uang didistribusikan dalam dua amplop sebagai berikut. Lempar koin yang adil sampai mendarat dan hitung berapa kali koin itu dilemparkan. Tempatkan 2 ^ n dolar dalam satu amplop dan 2 ^ (n +1) di yang lain. Anda sekarang dapat melakukan perhitungan ekspektasi yang sangat tepat dan masih mempertahankan paradoksnya.

— Ittay Weiss

31

The Sleeping Beauty Masalah .

Ini adalah penemuan terbaru; itu banyak dibahas dalam satu set kecil jurnal filsafat selama dekade terakhir. Ada pendukung setia untuk dua jawaban yang sangat berbeda ("Halfers" dan "Thirders"). Ini menimbulkan pertanyaan tentang sifat kepercayaan, probabilitas, dan pengondisian, dan telah menyebabkan orang memohon penafsiran mekanis "banyak dunia" mekanika-kuantum (di antara hal-hal aneh lainnya).

Ini pernyataan dari Wikipedia:

Sleeping Beauty relawan untuk menjalani percobaan berikut dan diberitahu semua detail berikut. Pada hari Minggu dia ditidurkan. Koin yang adil kemudian dilemparkan untuk menentukan prosedur eksperimental mana yang dilakukan. Jika koin muncul di kepala, Kecantikan dibangunkan dan diwawancarai pada hari Senin, dan kemudian eksperimen berakhir. Jika koin itu muncul, dia dibangunkan dan diwawancarai pada hari Senin dan Selasa. Tetapi ketika dia ditidurkan lagi pada hari Senin, dia diberi dosis obat penginduksi amnesia yang memastikan dia tidak dapat mengingat kebangkitannya sebelumnya. Dalam hal ini, percobaan berakhir setelah dia diwawancarai pada hari Selasa.

Kapan pun kecantikan Tidur terbangun dan diwawancarai, dia ditanya, "Apa kepercayaan Anda sekarang untuk proposisi bahwa koin itu mendarat di kepala?"

Posisi Thirder adalah bahwa SB harus menjawab "1/3" (ini adalah perhitungan Teorema Bayes yang sederhana) dan posisi Halfer adalah bahwa ia harus mengatakan "1/2" (karena itu kemungkinan yang benar untuk koin yang adil, jelas! ). IMHO, seluruh perdebatan bertumpu pada pemahaman yang terbatas tentang probabilitas, tetapi bukankah itu inti dari mengeksplorasi paradoks yang tampak?

Pangeran Florimond Menemukan Kecantikan Tidur

(Ilustrasi dari Project Gutenberg .)

Meskipun ini bukan tempat untuk mencoba menyelesaikan paradoks - hanya untuk menyatakannya - saya tidak ingin membiarkan orang menggantung dan saya yakin sebagian besar pembaca halaman ini tidak ingin membaca penjelasan filosofis. Kita dapat mengambil tip dari ET Jaynes , yang menggantikan pertanyaan “bagaimana kita dapat membangun model matematika dari akal sehat manusia” —yang merupakan sesuatu yang kita butuhkan untuk memikirkan masalah Sleeping Beauty — dengan “Bagaimana kita dapat membangun sebuah mesin yang akan melakukan penalaran masuk akal yang bermanfaat, mengikuti prinsip-prinsip yang jelas yang mengekspresikan akal sehat yang ideal? ”Jadi, jika Anda suka, gantikan SB dengan robot pemikir Jaynes. Anda bisa mengkloningrobot ini (alih-alih memberikan obat amnesia yang fantastis) untuk bagian hari Selasa percobaan, sehingga menciptakan model yang jelas dari pengaturan SB yang dapat dianalisis secara jelas. Memodelkan ini dengan cara standar menggunakan teori keputusan statistik kemudian mengungkapkan benar-benar ada dua pertanyaan yang diajukan di sini ( apa peluang koin kepala tanah adil? Dan berapa peluang koin mendarat kepala, tergantung pada kenyataan bahwa Anda adalah klon yang dibangunkan? ). Jawabannya adalah 1/2 (dalam kasus pertama) atau 1/3 (dalam yang kedua, menggunakan Teorema Bayes). Tidak ada prinsip mekanika kuantum yang terlibat dalam solusi ini :-).

Referensi

Arntzenius, Frank (2002). Refleksi tentang Kecantikan Tidur . Analisis 62.1 hal 53-62. Elga, Adam (2000). Keyakinan mencari-sendiri dan Masalah Kecantikan Tidur. Analisis 60 hal 143-7.

Franceschi, Paul (2005). Kecantikan Tidur dan Masalah Pengurangan Dunia . Pracetak.

Groisman, Berry (2007). Akhir dari mimpi buruk Sleeping Beauty .

Lewis, D (2001). Sleeping Beauty: balas ke Elga . Analisis 61.3 hal 171-6.

Papineau, David dan Victor Dura-Vila (2008). Seorang yang haus dan seorang Everettian: sebuah jawaban untuk 'Quantum Sleeping Beauty' milik Lewis .

Pust, Joel (2008). Horgan on Sleeping Beauty . Sintese 160 hal 97-101.

Vineberg, Susan (tidak bertanggal, mungkin 2003). Cautionary Tale Beauty .

Semua dapat ditemukan (atau setidaknya ditemukan beberapa tahun yang lalu) di Web.

— whuber
sumber

1

Apakah Anda pikir sama efektifnya untuk merumuskan solusi dalam hal "unit dasar"? Maksud saya, Anda harus mempertimbangkan apakah unit dasar adalah orang, atau wawancara. 1/2 orang akan memiliki kepala, tetapi 1/3 wawancara akan. Kemudian untuk memilih unit dasar kami, kami dapat meninjau kembali pertanyaan dan frasa sebagai "Apa peluang wawancara ini dikaitkan dengan hasil 'kepala'?"

— Jonathan

1

SB tidak tahu berapa banyak wawancara telah ada dan pertanyaannya adalah tentang dirinya penilaian probabilitas, bukan penilaian peneliti. Dari sudut pandangnya, jumlah wawancara tidak dapat ditentukan.

— whuber

2

Saya pikir Anda harus membaca argumen dalam literatur terlebih dahulu, Aaron. (Saya mengaku bahwa saya haus, tetapi saya pikir setengah tidak akan menemukan alasan Anda meyakinkan. Paling tidak, Anda perlu menunjukkan kepada mereka mengapa argumen mereka cacat.)

— whuber

1

Fair point, @whuber, saya sekarang sudah meneliti literatur lebih lanjut. Saya membaca Ellis's Sleeping Beauty: balas ke Elga . Kalimat inilah yang membuat saya khawatir, di awal bagian '4. Argumen saya '. "Hanya bukti relevan baru, terpusat atau tidak fokus, menghasilkan perubahan dalam kepercayaan". Saya akan berpikir lebih jauh dan mungkin blog tentang itu lagi. Saya telah berdiskusi panjang dengan tujuh mahasiswa PhD lain tentang ini!

— Aaron McDaid

1

Apakah Sleeping Beauty diperbolehkan melihat kalender saat bangun? Jika Senin, maka dia harus menjawab P (X = kepala) = 0,5. Jika Selasa, maka P (X = head) = 0.

— RobertF

25

The St.Petersburg paradoks , yang membuat Anda berpikir secara berbeda tentang konsep dan makna Nilai yang diharapkan . Intuisi (terutama untuk orang-orang dengan latar belakang statistik) dan perhitungannya memberikan hasil yang berbeda.

— Guy
sumber

5

X_{1}, X_{2}, \dots

$X_1,X_2,\ldots$

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar X_n$

N (0, 1)

$\mathcal N(0,1)$

V a r (\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}) \to 17

$\mathrm{Var}(\sqrt{n} \bar X_n) \to 17$

@ kardinal Anda berkesempatan memposting beberapa detail sebagai jawaban terpisah?

— Silverfish

X_{i}

$X_i$

f (n)

$f(n)$

f

$f$

Var (\sqrt{n} {\bar{X}}_{n})

$\text{Var}(\sqrt{n}\bar X_n)$

X_{i}

$X_i$

f (i)

$f(i)$

X_{i}

$X_i$

V a r (\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (i)

$\mathrm{Var}(\sqrt{n}\bar X_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(i)$

f (i)

$f(i)$

V a r (\sqrt{n} {\bar{X}}_{n})

$\mathrm{Var}(\sqrt{n}\bar X_n)$

22

The Jeffreys-Lindley paradoks , yang menunjukkan bahwa dalam kondisi tertentu bawaan metode frequentist dan Bayesian pengujian hipotesis dapat memberikan jawaban sepenuhnya bertentangan. Ini benar-benar memaksa pengguna untuk berpikir tentang apa sebenarnya bentuk pengujian ini, dan untuk mempertimbangkan apakah itu yang benar-benar diinginkan. Untuk contoh terbaru lihat diskusi ini .

— tamu
sumber

20

Ada kesalahan dua gadis yang terkenal:

Dalam keluarga dengan dua anak, apa peluangnya, jika salah satu dari anak-anak itu perempuan , maka kedua anak itu adalah perempuan?

Kebanyakan orang secara intuitif mengatakan 1/2, tetapi jawabannya adalah 1/3. Masalahnya, secara mendasar, adalah bahwa secara seragam memilih "satu gadis, dari semua gadis dengan satu saudara" secara acak tidak sama dengan memilih secara seragam "satu keluarga, dari semua keluarga dengan dua anak dan setidaknya satu gadis."

Yang ini cukup sederhana untuk disatukan dengan intuisi, begitu Anda memahaminya, tetapi ada versi yang lebih rumit yang lebih sulit untuk dipahami:

Dalam sebuah keluarga dengan dua anak, bagaimana kemungkinannya, jika salah satu dari anak-anak itu adalah anak laki-laki yang lahir pada hari Selasa , bahwa kedua anak itu adalah anak laki-laki? (Jawab: 13/27)

Dalam sebuah keluarga dengan dua anak, bagaimana kemungkinannya, jika salah satu dari anak-anak itu adalah seorang gadis bernama Florida , bahwa kedua anak itu adalah anak perempuan? (Jawab: sangat dekat dengan 1/2, dengan asumsi "Florida" adalah nama yang sangat langka)

Info lebih lanjut tentang semua teka-teki ini dapat ditemukan dalam jawaban ini .
(Juga: Info lebih lanjut tentang anak laki-laki yang lahir pada hari Selasa , info lebih lanjut tentang anak perempuan bernama Florida )

— BlueRaja - Danny Pflughoeft
sumber

3

Jawabannya 1/3belum 2/3tentu? Hanya satu dariGB, BG, GG

— Martin Smith

3

Artikel "bocah lahir pada hari Selasa" itu bagus. Poin utamanya, yang dibuat sangat jelas ("masalahnya tidak jelas"), adalah bahwa jawabannya tergantung pada model probabilitas yang diadopsi. Mengatakan bahwa "jawabannya" adalah 13/27 menyesatkan (paling-paling).

— whuber

@ Martin: hehe whoops :)

— BlueRaja - Danny Pflughoeft

2

Alasan mengapa masalah ini sangat membingungkan adalah karena pertanyaannya adalah worded sehingga sangat sulit untuk memastikan apa ruang hipotesis itu. Hal ini pada gilirannya membuatnya membingungkan mengenai apa sebenarnya kasus "kemungkinan yang sama" itu (dan karenanya apa yang harus dihitung).

— probabilityislogic

1

p (B_{1} G_{2}) = p (G_{1} B_{2})

$p(B_1G_2)=p(G_1B_2)$

\frac{p (G_{1} G_{2})}{2 p (B_{1} G_{2}) + p (G_{1} G_{2})}

$\frac{p(G_1G_2)}{2p(B_1G_2)+p(G_1G_2)}$

12

Maaf, tapi saya tidak bisa menahan diri (saya juga suka paradoks statistik!).

Sekali lagi, mungkin bukan paradoks per se dan contoh lain dari variabel yang dihilangkan bias.

Penyebab / regresi palsu
Setiap variabel dengan tren waktu akan dikorelasikan dengan variabel lain yang juga memiliki tren waktu. Misalnya, berat badan saya sejak lahir hingga usia 27 tahun akan sangat berkorelasi dengan berat badan Anda sejak lahir hingga usia 27 tahun. Jelas, berat badan saya tidak disebabkan oleh berat badan Anda. Jika ya, saya minta Anda pergi ke gym lebih sering.

$x_t$ $y_t$

\begin{aligned} x_{t} & = α_{0} + α_{1} t + ϵ_{t} and \\ y_{t} & = β_{0} + β_{1} t + η_{t} . \end{aligned}

$\begin{align*}x_t &= \alpha_0 + \alpha_1 t + \epsilon_t \text{ and} \\ y_t &= \beta_0 + \beta_1 t + \eta_t.\end{align*}$

y_{t} = γ_{0} + γ_{1} x_{t} + ν_{t}

$\begin{equation*}y_t = \gamma_0 + \gamma_1 x_t + \nu_t\end{equation*}$

x_{t}

$x_t$

γ_{1}

$\gamma_1$

Saat Anda melakukan analisis deret waktu, Anda harus yakin bahwa variabel Anda diam atau Anda akan mendapatkan hasil sebab-akibat palsu ini.

(Saya sepenuhnya mengakui bahwa saya menjiplak jawaban saya sendiri yang diberikan di sini .)

— Charlie
sumber

11

Salah satu favorit saya adalah masalah Monty Hall. Saya ingat belajar tentang itu di kelas statistik dasar, memberi tahu ayah saya, karena kami berdua tidak percaya saya mensimulasikan angka acak dan kami mencoba masalahnya. Yang mengherankan kami adalah benar.

Pada dasarnya masalah menyatakan bahwa jika Anda memiliki tiga pintu pada permainan, di mana satu adalah hadiah dan dua lainnya tidak ada, jika Anda memilih pintu dan kemudian diberitahu tentang dua pintu yang tersisa, salah satu dari dua itu bukan pintu hadiah dan diizinkan untuk mengubah pilihan Anda jika Anda memilih Anda harus beralih pintu Anda saat ini ke pintu yang tersisa.

Ini juga tautan ke simulasi R: LINK

— Tyler Rinker
sumber

7

Parrox Paradox:

Dari wikipdedia : "Parrondo paradoks, sebuah paradoks dalam teori permainan, telah dideskripsikan sebagai: Kombinasi strategi kehilangan menjadi strategi kemenangan. Dinamai menurut penciptanya, Juan Parrondo, yang menemukan paradoks pada tahun 1996. Deskripsi yang lebih jelas adalah :

Ada beberapa permainan, masing-masing dengan probabilitas lebih tinggi untuk kalah daripada menang, yang memungkinkan untuk membangun strategi menang dengan memainkan permainan secara bergantian.

Parrondo menyusun paradoks sehubungan dengan analisisnya tentang ratchet Brown, sebuah eksperimen pemikiran tentang mesin yang konon dapat mengekstraksi energi dari gerakan panas acak yang dipopulerkan oleh fisikawan Richard Feynman. Namun, paradoksnya menghilang ketika dianalisis dengan seksama. "

$P_B(W)=3/4+\epsilon$ $P_A(W)=1/10 + \epsilon$

Ada juga paradoks terkait yang lebih baru yang disebut " campuran allison ," yang menunjukkan bahwa kita dapat mengambil dua seri IID dan non-berkorelasi, dan mengacaknya secara acak sehingga campuran tertentu dapat membuat seri yang dihasilkan dengan autokorelasi non-nol.

— tepuk
sumber

6

Sangat menarik bahwa Masalah Dua Anak dan Masalah Monty Hall begitu sering disebutkan bersama dalam konteks paradoks. Keduanya menggambarkan paradoks yang jelas pertama kali diilustrasikan pada tahun 1889, yang disebut Bertrand's Box Paradox, yang dapat digeneralisasi untuk mewakili keduanya. Saya menganggapnya sebagai "paradoks" yang paling menarik karena orang-orang yang sangat berpendidikan dan sangat cerdas menjawab dua masalah dengan cara yang berlawanan sehubungan dengan paradoks ini. Ini juga membandingkan dengan prinsip yang digunakan dalam permainan kartu seperti bridge, yang dikenal sebagai Prinsip Pilihan Terbatas, di mana resolusinya teruji oleh waktu.

Katakanlah Anda memiliki item yang dipilih secara acak yang akan saya sebut "kotak." Setiap kotak yang mungkin memiliki setidaknya satu dari dua sifat simetris, tetapi beberapa memiliki keduanya. Saya akan menyebut properti "emas" dan "perak." Probabilitas bahwa sebuah kotak hanya emas adalah P; dan karena propertinya simetris, P juga probabilitas bahwa sebuah kotak hanya perak. Itu membuat probabilitas bahwa sebuah kotak hanya memiliki satu properti 2P, dan probabilitas bahwa keduanya memiliki 1-2P.

Jika Anda diberi tahu bahwa sebuah kotak adalah emas, tetapi bukan apakah itu perak, Anda mungkin tergoda untuk mengatakan bahwa peluangnya hanyalah emas adalah P / (P + (1-2P)) = P / (1-P). Tetapi kemudian Anda harus menyatakan probabilitas yang sama untuk kotak satu warna jika Anda diberi tahu bahwa itu adalah perak. Dan jika probabilitas ini adalah P / (1-P) setiap kali Anda diberitahu hanya satu warna, itu harus P / (1-P) bahkan jika Anda tidak diberi tahu warna. Namun kita tahu ini 2P dari paragraf terakhir.

Paradoks yang tampak ini diselesaikan dengan mencatat bahwa jika sebuah kotak hanya memiliki satu warna, tidak ada ambiguitas tentang warna apa yang akan Anda beri tahu. Tetapi jika memiliki dua, ada pilihan tersirat. Anda harus tahu bagaimana pilihan itu dibuat untuk menjawab pertanyaan, dan itu adalah akar dari paradoks yang tampak. Jika Anda tidak diberi tahu, Anda hanya dapat mengasumsikan warna dipilih secara acak, membuat jawaban P / (P + (1-2P) / 2) = 2P. Jika Anda bersikeras P / (1-P) adalah jawabannya, Anda secara implisit mengasumsikan tidak ada kemungkinan warna lain bisa disebutkan kecuali itu adalah satu-satunya warna.

Dalam Masalah Monty Hall, analogi untuk warna tidak terlalu intuitif, tetapi P = 1/3. Jawaban berdasarkan dua pintu belum dibuka awalnya sama-sama cenderung memiliki hadiah mengasumsikan Monty Hall diperlukan untuk membuka pintu dia lakukan, bahkan jika ia punya pilihan. Jawaban itu adalah P / (1-P) = 1/2. Jawaban yang memungkinkan dia untuk memilih secara acak adalah 2P = 2/3 untuk probabilitas bahwa pergantian akan menang.

Dalam Masalah Dua Anak, warna-warna dalam analogi saya cukup baik dibandingkan dengan jenis kelamin. Dengan empat kasus, P = 1/4. Untuk menjawab pertanyaan itu, kita perlu tahu bagaimana ditentukan bahwa ada seorang gadis dalam keluarga. Jika mungkin untuk mengetahui tentang anak laki-laki dalam keluarga dengan metode itu, maka jawabannya adalah 2P = 1/2, bukan P / (1-P) = 1/3. Ini sedikit lebih rumit jika Anda mempertimbangkan nama Florida, atau "lahir pada hari Selasa," tetapi hasilnya sama. Jawabannya tepat 1/2 jika ada pilihan, dan sebagian besar pernyataan masalah menyiratkan pilihan seperti itu. Dan alasan "berubah" dari 1/3 ke 13/27, atau dari 1/3 ke "hampir 1/2," tampaknya paradoks dan tidak intuitif, adalah karena asumsi tidak ada pilihan adalah tidak intuitif.

Dalam Prinsip Pilihan Terbatas, katakan Anda kehilangan beberapa set kartu yang setara - seperti Jack, Queen, dan King dengan jenis yang sama. Peluang dimulai bahkan bahwa kartu tertentu milik lawan tertentu. Tetapi setelah lawan memainkan satu, peluangnya untuk memiliki salah satu dari yang lain berkurang karena dia bisa memainkan kartu itu jika dia memilikinya.

— JeffJo
sumber

P_{G} = P_{S}

$P_G=P_S$

P^{2}

$P^2$

2 P

$2P$

(1 - P)^{2}

$(1-P)^2$

1 - 2 P

$1-2P$

P_{G} = P_{S} = .8

$P_G=P_S=.8$

P_{G S} = 1.6

$P_{GS}=1.6$

P_{- G - S} = - .6

$P_{-G-S}=-.6$

P = .5

$P=.5$

Maaf, mungkin saya tidak menjelaskannya dengan berusaha sesingkat mungkin. P saya bukan probabilitas kotak memiliki warna emas, itu probabilitas itu hanya emas. Probabilitas memiliki warna emas adalah 1-P. Dan sementara dua properti bersifat symmertic, mereka tidak harus independen, jadi Anda tidak bisa melipatgandakan probabilitas. Juga, tidak ada kotak yang "tidak ada." Bertrand menggunakan tiga kotak dengan dua koin di masing-masing: emas + emas, emas + perak, dan perak + perak. Sebuah kotak dengan sejumlah koin emas adalah "emas" dalam generalisasi saya.

— JeffJo

+1, itu membantu. Sekarang saya melihat frasa "setidaknya satu dari dua" dan kata "adil", yang pasti saya selipkan.

— gung

6

$[0,1]$ $x,y\in [0,1]$ $P(x=y)=0$ $x$ $y>x$ $y<x$ $y>x$ $0.5$

— Sekarang Weiss
sumber

2

[0, 1]

$[0,1]$

y

$y$

x

$x$

2

Saya menemukan ilustrasi grafis yang disederhanakan dari kekeliruan ekologis (di sini paradoks pemungutan suara Negara kaya / Negara miskin) membantu saya untuk memahami pada tingkat intuitif mengapa kita melihat pembalikan pola pemungutan suara ketika kita mengumpulkan populasi Negara:

masukkan deskripsi gambar di sini

— RobertF
sumber

3

Ini adalah contoh yang bagus, tapi saya pikir ini adalah Paradox Simpson: en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_paradox

— Nick

1

@Nick: contoh khusus ini sebenarnya berbeda dari Paradox Simpson, tetapi bisa sulit untuk mengetahui fallacy / paradox mana yang berlaku dalam situasi tertentu karena mereka terlihat sama secara statistik. Perbedaannya adalah bahwa SP adalah "efek salah" yang hanya muncul ketika menganalisis subkelompok. Tren yang ditunjukkan ini adalah "efek nyata" yang muncul hanya ketika menganalisis subkelompok. Dalam hal ini, ini menunjukkan bahwa sementara penghasilan sebagai angka mentah tidak mempengaruhi pola suara secara agregat, pendapatan yang terkait dengan tetangga Anda (negara Anda) memang mempengaruhi pola suara.

— Jonathan

Ini adalah kekeliruan ekologis, yang dibahas di bawah ini.

— Charlie

3

@Charlie 'di bawah' dan 'di atas' adalah fungsi dengan cara apa pun yang disortir oleh pembaca halaman (aktif / terlama / suara), dan dalam hal apa pun urutan di bawah beberapa kriteria penyortiran dapat berubah dari waktu ke waktu (termasuk default) . Karena itu, mungkin lebih baik untuk menyebutkan orang yang memposting diskusi yang Anda rujuk, atau bahkan menautkannya.

— Glen_b

2

Misalkan Anda memperoleh data tentang kelahiran di keluarga kerajaan dari beberapa kerajaan. Di pohon keluarga setiap kelahiran dicatat. Yang aneh tentang keluarga ini adalah bahwa orang tua berusaha untuk memiliki bayi hanya segera setelah anak laki-laki pertama lahir dan kemudian tidak memiliki anak lagi.

Jadi data Anda berpotensi terlihat mirip dengan ini:

G G B
B
G G B
G B
G G G G G G G G G B
etc.

Apakah proporsi anak laki-laki dan perempuan dalam sampel ini mencerminkan probabilitas umum melahirkan anak laki-laki (katakanlah 0,5)? Jawaban dan penjelasan dapat ditemukan di utas ini .

— Tim
sumber

2

Jawaban ini berbunyi seperti teka-teki, bukan seperti paradoks. Saya bisa membayangkan mengapa Anda ingin mempostingnya seperti itu, tetapi saya pikir jawaban ini memenuhi syarat sebagai paradoks dan agar sesuai dengan utas ini, Anda harus lebih eksplisit.

— amoeba

2

Pertanyaan ini (dengan laki-laki dan perempuan dipertukarkan) ditanyakan di stats.stackexchange.com/questions/93830 , yang menerima sejumlah besar jawaban - tidak sepenuhnya dalam persetujuan! (Saya belajar sesuatu dengan menganggap serius masalah itu dan memikirkannya dengan cara yang semakin realistis, mengeksplorasi asumsi yang diperlukan untuk melakukan itu.)

— whuber

@whuber, terima kasih atas tautannya! Saya menambahkannya ke dalam deskripsi.

— Tim

2

Ini adalah Paradox Simpson lagi tetapi 'mundur' dan juga ke depan, berasal dari buku baru Judea Pearl, Causal Inference in Statistics: A primer [^ 1]

Paradox Simpon klasik berfungsi sebagai berikut: pertimbangkan untuk mencoba memilih antara dua dokter. Anda secara otomatis memilih yang dengan hasil terbaik. Tetapi anggaplah seseorang dengan hasil terbaik memilih kasus yang paling mudah. Rekor yang lebih buruk dari yang lain adalah konsekuensi dari pekerjaan yang lebih rumit.

Sekarang siapa yang kamu pilih? Lebih baik untuk melihat hasil yang dikelompokkan berdasarkan kesulitan dan kemudian memutuskan.

Ada sisi lain dari koin (paradoks lain) yang mengatakan bahwa hasil bertingkat juga dapat membawa Anda ke pilihan yang salah.

Kali ini pertimbangkan untuk memilih menggunakan obat atau tidak. Obat ini memiliki efek samping toksik, tetapi mekanisme tindakan terapeutiknya adalah dengan menurunkan tekanan darah. Secara keseluruhan, obat meningkatkan hasil dalam populasi, tetapi ketika bertingkat pada tekanan darah pasca perawatan hasilnya lebih buruk pada kelompok tekanan darah rendah dan tinggi. Bagaimana ini bisa benar? Karena kita telah secara tidak sengaja membuat stratifikasi pada hasil, dan dalam setiap hasil yang tersisa untuk diamati adalah efek samping toksik.

Untuk memperjelas, bayangkan obat ini dirancang untuk memperbaiki patah hati, dan ia melakukan ini dengan menurunkan tekanan darah, dan alih-alih bertingkat pada tekanan darah, kita bertingkat pada jantung yang tetap. Ketika obat bekerja, jantung diperbaiki (dan tekanan darah akan lebih rendah), tetapi beberapa pasien juga akan mendapatkan efek samping toksik. Karena obat ini bekerja, kelompok 'jantung tetap' akan memiliki lebih banyak pasien yang telah menggunakan obat, daripada ada pasien yang menggunakan obat dalam kelompok jantung 'rusak'. Semakin banyak pasien yang menggunakan obat berarti semakin banyak pasien yang mendapatkan efek samping, dan tampaknya (tetapi salah) hasil yang lebih baik untuk pasien yang tidak menggunakan obat.

Pasien yang sembuh tanpa minum obat hanya beruntung. Para pasien yang menggunakan obat dan menjadi lebih baik adalah campuran dari mereka yang membutuhkan obat untuk menjadi lebih baik, dan mereka yang akan beruntung juga. Memeriksa hanya pasien dengan 'jantung tetap' berarti mengecualikan pasien yang akan diperbaiki seandainya mereka minum obat. Mengecualikan pasien seperti itu berarti mengecualikan bahaya dari tidak minum obat yang pada gilirannya berarti kita hanya melihat bahaya dari minum obat.

Paradoks Simpson muncul ketika ada penyebab untuk hasil selain pengobatan seperti fakta bahwa dokter Anda hanya melakukan kasus rumit. Mengontrol untuk penyebab umum (rumit versus kasus mudah) memungkinkan kita untuk melihat efek yang sebenarnya. Dalam contoh terakhir, kami telah secara tidak sengaja melakukan stratifikasi pada hasil bukan pada penyebab yang berarti jawaban sebenarnya adalah agregat, bukan data bertingkat.

[^ 1]: Pearl J. Inferensial Kausal dalam Statistik. John Wiley & Sons; 2016

— drstevok
sumber

2

Salah satu "favorit" saya, yang artinya itulah yang membuat saya tergila-gila dengan interpretasi banyak studi (dan seringkali oleh penulis sendiri, bukan hanya media) adalah Survivorship Bias .

Salah satu cara untuk membayangkannya adalah anggap ada beberapa efek yang sangat merugikan subyek, begitu banyak sehingga memiliki peluang yang sangat baik untuk membunuh mereka. Jika subjek terpapar pada efek ini sebelum penelitian , maka pada saat studi dimulai, subjek yang terpapar yang masih hidup memiliki kemungkinan yang sangat tinggi untuk memiliki daya tahan yang luar biasa. Seleksi alamiah di tempat kerja. Ketika ini terjadi, penelitian ini akan mengamati bahwa subjek yang terpapar adalah sehat luar biasa (karena semua yang tidak sehat sudah mati atau memastikan untuk berhenti terkena efeknya). Hal ini sering disalahartikan sebagai menyiratkan bahwa paparan sebenarnya baik untuk subjek. Ini adalah hasil dari mengabaikan pemotongan (Yaitu mengabaikan subyek yang meninggal dan tidak berhasil ke ruang belajar).

Demikian pula, subjek yang berhenti terpapar pada efek selama penelitian seringkali sangat tidak sehat: ini karena mereka telah menyadari bahwa paparan yang terus menerus mungkin akan membunuh mereka. Tetapi penelitian ini hanya mengamati bahwa mereka yang berhenti merokok sangat tidak sehat!

@ Charlie menjawab tentang para pembom Perang Dunia II dapat dianggap sebagai contoh dari ini, tetapi ada banyak contoh modern juga. Contoh terbaru adalah studi yang melaporkan bahwa minum 8+ cangkir kopi sehari(!!) Berhubungan dengan kesehatan jantung yang jauh lebih tinggi pada subjek berusia di atas 55 tahun. Banyak orang dengan PhD menafsirkan ini sebagai "minum kopi baik untuk jantung Anda!", Termasuk para penulis penelitian. Saya membaca ini karena Anda harus memiliki jantung yang sangat sehat untuk tetap minum 8 cangkir kopi sehari setelah 55 tahun dan tidak terkena serangan jantung. Bahkan jika itu tidak membunuh Anda, saat sesuatu terlihat mengkhawatirkan tentang kesehatan Anda, semua orang yang mencintai Anda (ditambah dokter Anda) akan segera mendorong Anda untuk berhenti minum kopi. Studi lebih lanjut menemukan bahwa minum kopi begitu banyak tidak memiliki efek menguntungkan pada kelompok yang lebih muda, yang saya percaya lebih banyak bukti bahwa kita melihat efek bertahan hidup, daripada efek kausal positif. Namun ada banyak PhD berlarian mengatakan "

— Cliff AB
sumber

Saya tidak begitu yakin dengan interpretasi Anda. Di Norwegia, minum 8 cangkir kopi sehari sama sekali tidak biasa, nilai rata-rata (termasuk anak-anak dan bukan peminum lainnya) sekitar dua cangkir sehari. Di Finlandia rata-rata sekitar 2,5 cangkir sehari. Saya biasa minum lebih dari sepuluh gelas sehari, tetapi tidak lagi.

— kjetil b halvorsen

1

Saya terkejut belum ada yang menyebutkan Paradox Newcombe , meskipun lebih banyak dibahas dalam teori keputusan. Ini pasti salah satu favorit saya.

— Ely
sumber

-2

Biarkan x, y, dan z menjadi vektor yang tidak berkorelasi. Namun x / z dan y / z akan dikorelasikan.

— zbicyclist
sumber

2

Mengapa ini sebuah paradoks? sepertinya intuitif.

— lcrmorin

2

Saya akan terkejut jika ini tidak biasanya terjadi.

— Glen_b

1

x / z

$x/z$

x / z

$x/z$

z

$z$

X, Y,

$X,Y,$

Z

$Z$