Apa sajakah properti distribusi setengah Cauchy?

Saat ini saya sedang mengerjakan masalah, di mana saya perlu mengembangkan algoritma rantai Markov Monte Carlo (MCMC) untuk model ruang angkasa.

Untuk dapat menyelesaikan masalah, saya telah diberi probabilitas : p ( ) = 2I ( > 0) / (1+ ). menjadi standar deviasi dari . $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau^2$ $\tau$ $x$

Jadi sekarang saya tahu bahwa itu adalah distribusi setengah-Cauchy, karena saya mengenalinya dari melihat contoh dan, karena saya diberitahu begitu. Tapi saya tidak sepenuhnya mengerti mengapa ini adalah distribusi "Setengah-Cauchy" dan properti mana yang menyertainya.

Dalam hal properti saya tidak yakin apa yang saya inginkan. Saya cukup baru dalam teori ekonometrika jenis ini. Jadi lebih bagi saya untuk memahami distribusi dan bagaimana kita menggunakan dalam konteks model ruang negara. Model itu sendiri terlihat seperti ini:

\begin{aligned} y_{t} & = x_{t} + e_{t} \\ x_{t + 1} & = x_{t} + {Sebuah}_{t + 1} \\ {Sebuah}_{t + 1} & \sim N (0, τ^{2}) \\ hal (σ^{2}) & \propto 1 / σ^{2} \\ hal (τ) & = \frac{2 saya (τ > 0)}{π (1 + τ^{2})} \end{aligned}

$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$

Sunting: Saya memasukkan dalam p ( ). Terima kasih telah menunjukkan ini. $\pi$ $\tau$

— Christoph
sumber

Harap tunjukkan properti mana yang Anda minati: bagaimanapun, ada banyak sekali yang dapat dideskripsikan oleh seseorang.

— whuber

Setengah-distribusi dari distribusi simetris memiliki dua kali tinggi fungsional area untuk kisarannya, yang kisarannya adalah setengah-rentang, sering tetapi tidak selalu dimulai dari nol .

x \geq 0

$x\geq 0$

— Carl

Setengah-Cauchy adalah salah satu bagian simetris dari distribusi Cauchy (jika tidak ditentukan, itu adalah setengah yang tepat yang dimaksudkan):

$\frac12$ $\frac{1}{\pi}$

Setengah-Cauchy memiliki banyak properti; beberapa properti berguna yang mungkin kita inginkan dalam prior.

Pilihan umum untuk parameter skala sebelumnya adalah gamma terbalik (paling tidak, karena konjugat untuk beberapa kasus yang umum). Ketika diinginkan informasi yang lemah informatif, nilai parameter yang sangat kecil digunakan.

Setengah-Cauchy adalah ekor yang cukup berat dan juga dapat dianggap sebagai informasi yang cukup lemah dalam beberapa situasi. Gelman ([1] misalnya) menganjurkan untuk setengah-t prior (termasuk setengah-Cauchy) atas gamma terbalik karena mereka memiliki perilaku yang lebih baik untuk nilai parameter yang kecil tetapi hanya menganggapnya sebagai informatif biasa ketika parameter skala besar digunakan *. Gelman lebih fokus pada setengah Cauchy dalam beberapa tahun terakhir. Makalah oleh Polson dan Scott [2] memberikan alasan tambahan untuk memilih setengah-Cauchy pada khususnya.

* Posting Anda menunjukkan setengah Cauchy standar. Gelman mungkin tidak akan memilih itu untuk prior. Jika Anda tidak memiliki akal sama sekali dari skala, itu sesuai dengan mengatakan bahwa skala tersebut kemungkinan berada di atas 1 seperti di bawah 1 (yang mungkin apa yang Anda inginkan) tetapi itu tidak sesuai dengan beberapa hal yang diperdebatkan Gelman untuk.

[1] A. Gelman (2006),
"Distribusi sebelumnya untuk parameter varians dalam model hierarkis"
Bayesian Analysis , Vol. 1, N. 3, hlm. 515-533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Polson dan JG Scott (2012),
"Di Separuh-Cauchy Sebelum untuk Parameter Skala Global"
Bayesian Analysis , Vol. 7, No. 4, hlm. 887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

1 / π

$1/\pi$

@ Glen_b, apa lokasi di setengah Cauchy dalam jawaban Anda?

— rnorouzian

@morouzian ukuran lokasi mana yang Anda minati? Dianggap sebagai anggota keluarga skala lokasi, formulir standar yang dibahas memiliki lokasi 0 dan skala 1, tetapi saya tidak yakin apakah itu yang Anda tanyakan. (Mediannya adalah 1, seperti yang disarankan di akhir jawaban saya, jika itu membantu.)

— Glen_b -Reinstate Monica