Apa distribusi sarana sampel dari distribusi Cauchy?

14

Biasanya ketika seseorang mengambil rata-rata sampel acak dari suatu distribusi (dengan ukuran sampel lebih besar dari 30) ia memperoleh distribusi normal yang berpusat di sekitar nilai rata-rata. Namun, saya mendengar bahwa distribusi Cauchy tidak memiliki nilai rata-rata. Distribusi apa yang diperoleh seseorang saat memperoleh sarana sampel distribusi Cauchy?

Pada dasarnya untuk distribusi Cauchy tidak terdefinisi jadi apa itu dan apa distribusi dari ? $\mu_x$ $\mu_{\bar{x}}$ $\bar{x}$

cauchy

— Steven Stewart-Gallus
sumber

1

Dari halaman Wikipedia , sepertinya rata-rata sampel dari variabel iid Cauchy akan memiliki distribusi yang sama dengan sampel itu sendiri.

— GeoMatt22

19

Jika adalah iid Cauchy maka kita dapat menunjukkan bahwa juga Cauchy menggunakan argumen fungsi karakteristik: $X_1, \ldots, X_n$ $(0, 1)$ $\bar{X}$ $(0, 1)$

\begin{aligned} φ_{\bar{X}} (t) & = E (e^{i t \bar{X}}) \\ = E (\prod_{j = 1}^{n} e^{i t X_{j} / n}) \\ = \prod_{j = 1}^{n} E (e^{i t X_{j} / n}) \\ = E {(e^{i t X_{1} / n})}^{n} \\ = e^{- | t |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

yang merupakan fungsi karakteristik dari distribusi Cauchy standar. Bukti untuk kasus Cauchy yang lebih umum pada dasarnya identik. $(\mu, \sigma)$

— dsaxton
sumber

7

Untuk membantu mereka yang mungkin mengalami kesulitan menghubungkan beberapa detail, langkah dari baris kedua ke ketiga menggunakan independensi, yang berikutnya menggunakan "didistribusikan secara identik", yang berikutnya dapat dilakukan dalam beberapa cara, tetapi yang paling mudah adalah dengan melihat bahwa harapan di dalam kekuasaan adalah integral yang sama dengan harapan untuk Cauchy cf tetapi di , jadi (jika Anda sudah tahu cf untuk Cauchy) Anda mendapatkan dan kemudian membawa th daya turun istilah membatalkan.

t / n

$t/n$

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$

n

$n$

n

$n$

— Glen_b -Reinstate Monica

Saya suka bahwa jawaban yang lain juga menjelaskan bahwa ini adalah distribusi yang stabil .

— Apollys mendukung Monica

5

Biasanya ketika seseorang mengambil rata-rata sampel acak dari suatu distribusi (dengan ukuran sampel lebih besar dari 30) ia memperoleh distribusi normal yang berpusat di sekitar nilai rata-rata.

Tidak persis. Anda sedang memikirkan teorema limit pusat, yang menyatakan bahwa diberi urutan dari variabel acak IID dengan varian terbatas (yang dengan sendirinya menyiratkan rata-rata terbatas ), ekspresi menyatu dalam distribusi ke distribusi normal ketika menuju tak terhingga. Tidak ada jaminan bahwa rata-rata sampel dari setiap subset terbatas dari variabel akan terdistribusi secara normal. $X_n$ $μ$ $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ $n$

Namun, saya mendengar bahwa distribusi Cauchy tidak memiliki nilai rata-rata. Distribusi apa yang diperoleh seseorang saat memperoleh sarana sampel distribusi Cauchy?

Seperti GeoMatt22 katakan, sampel berarti akan menjadi diri mereka sendiri didistribusikan Cauchy. Dengan kata lain, distribusi Cauchy adalah distribusi yang stabil .

Perhatikan bahwa teorema limit pusat tidak berlaku untuk variabel acak terdistribusi Cauchy karena mereka tidak memiliki mean dan varian terbatas.

— Kodiologis
sumber

Komentar saya dimaksudkan untuk menjadi sedikit lebih kuat daripada "mean sampel juga Cauchy", karena mean sampel akan memiliki parameter yang sama . Artinya, seperti untuk distribusi normal, parameter lokasi akan sama, tetapi tidak seperti kasus normal, parameter skala juga akan sama (sedangkan untuk kasus normal, skala berkurang sebagai ) . Setidaknya, ini adalah interpretasi saya atas 2 properti transformasi pertama yang terdaftar di tautan saya.

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$

— GeoMatt22

1

Anda berkata: " sampel rata-rata dari n elemen pertama konvergensi dalam distribusi ke distribusi normal ketika n menuju tak terhingga " ... tidak persis. Di bawah kondisi yang lebih lemah daripada yang Anda butuhkan untuk CLT, mean itu sendiri menyatu dengan konstanta (oleh hukum lemah angka besar). Anda harus menstandarkan mean untuk mendapatkan konvergensi ke distribusi normal.

μ

$\mu$

— Glen_b -Reinstate Monica

@DilipSarwate Dikoreksi. Jangan lupa bahwa Anda dapat mengedit jawaban orang lain.

— Kodiologis