Apa rumus untuk nilai p yang disesuaikan Benjamini-Hochberg?

Saya mengerti prosedur dan apa yang dikontrolnya. Jadi apa rumus untuk nilai-p yang disesuaikan dalam prosedur BH untuk beberapa perbandingan?

Baru saja saya menyadari bahwa BH asli tidak menghasilkan nilai p yang disesuaikan, hanya menyesuaikan kondisi penolakan (non): https://www.jstor.org/stable/2346101 . Gordon Smyth memperkenalkan nilai p BH yang disesuaikan pada tahun 2002, jadi pertanyaannya masih berlaku. Ini diimplementasikan dalam R p.adjustdengan metode BH.

Makalah seminal terkenal Benjamini & Hochberg (1995) menggambarkan prosedur untuk menerima / menolak hipotesis berdasarkan penyesuaian tingkat alfa. Prosedur ini memiliki reformulasi setara langsung dalam hal disesuaikan$p$, tetapi tidak dibahas dalam makalah asli. Menurut Gordon Smyth, ia memperkenalkan nilai-$p$ disesuaikanpada tahun 2002 ketika menerapkannyap.adjustdi R. Sayangnya, tidak ada kutipan yang sesuai, jadi selalu tidak jelas bagi saya apa yang harus dikutip jika seseorang menggunakan nilai-$p$ disesuaikan denganBH.

Ternyata, prosedurnya dijelaskan dalam Benjamini, Heller, Yekutieli (2009) :

$p$$p$

$$p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$$

Formula ini terlihat lebih rumit dari yang sebenarnya. Ia mengatakan:

1. Pertama, pesan semua -nilai dari kecil ke besar. Kemudian gandakan setiap nilai dengan jumlah total tes dan bagi dengan urutan peringkatnya.$p$$p$$m$
2. Kedua, pastikan bahwa urutan yang dihasilkan tidak menurun: jika pernah mulai menurun, buat -nilai sebelumnya sama dengan yang berikutnya (berulang kali, sampai seluruh urutan menjadi tidak menurun).$p$
3. Jika -value berakhir lebih besar dari 1, jadikan itu sama dengan 1.$p$

Ini adalah reformulasi langsung dari prosedur BH asli dari tahun 1995. Mungkin ada makalah sebelumnya yang secara eksplisit memperkenalkan konsep nilai disesuaikan dengan BH, tetapi saya tidak mengetahui adanya.$p$

Memperbarui. @ Zenit menemukan bahwa Yekutieli & Benjamini (1999) menggambarkan hal yang sama pada tahun 1999:

Pertama a to the point jawabannya. Pertimbangkan bahwa adalah (single test) p nilai yang terkait dengan nilai z 0 dari uji statistik. FDR Benjamini-Hochberg dihitung dalam dua langkah ( N 0 = # pvalues ≤ p 0 , N = # pvalues):$p_0$$p$$z_0$$N_0$$\le$ $p_0$$N$

• $\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$

• $\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

Sekarang mari kita pahami ini. Gagasan yang mendasari (Bayesian) adalah bahwa pengamatan berasal dari campuran dua distribusi:

• pengamatan dari kepadatan nol f 0 ( z $\pi_0 \: N$$f_0(z)$
• $(1-\pi_0) \: N$$f_1(z)$

Yang diamati adalah campuran keduanya:

• $f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

Definisi (Bayesian) adalah:

• $\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$
• $\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$

$\pi_0 \approx 1$

(Berdasarkan Inferensi Statistik Usia Komputer Efron & Tibshirani )