Dapatkah cosine kernel dipahami sebagai kasus distribusi Beta?

Seperti dicatat oleh Wand dan Jones (1995), sebagian besar kernel standar dapat dilihat sebagai kasus

K (x; p) = {2^{2 p + 1} B (p + 1, p + 1)}^{- 1} (1 - x^{2})^{p} 1_{{| x | < 1}}

$K(x;p) = \{ 2^{2p+1} \; \mathrm{B}(p+1,p+1) \}^{-1} \; (1-x^2)^p \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

keluarga, di mana $\mathrm{B}(\cdot,\cdot)$ adalah fungsi Beta. Nilai $p$ mengarah ke kernel segi empat ( $p=0$ ), Epanechnikov ( $p=1$ ), biweight ( $p=2$ ) dan triweight ( $p=3$ ).

Dapat cosine kernel (sebagaimana dipahami dalam densityfungsi R ),

\frac{1}{2} (1 + \cos (π x)) 1_{{| x | < 1}}

$\frac{1}{2} (1 + \cos(\pi x)) \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

juga bisa dianggap sebagai anggota keluarga ini? Jika demikian, berapa nilai sesuai $p$ untuk itu? Setelah melakukan beberapa simulasi saya kira bahwa $\approx 2.35$ cukup dekat, tetapi (bagaimana) dapatkah saya menemukan yang tepat tanpa simulasi? Jika tidak, dapatkah diperkirakan menggunakan distribusi beta?

Wand, MP dan Jones, MC (1995). Penghalusan Kernel. Chapman dan Hall, London.

distributions kernel-smoothing beta-distribution

— Tim
sumber

Fungsi beta dengan argumen integer hanyalah beberapa rasio faktorial, tetapi untuk argumen non-integer saya ragu bahwa itu akan menyederhanakan apa pun yang berguna; dan itu pasti hanya angka tergantung pada sehingga tidak ada cara Anda dapat memperoleh fungsi kosinus dari ungkapan ini.

p

$p$

— amoeba

@amoeba masih, bisakah itu didekati? Dan pertanyaan kedua adalah: bagaimana mereka menemukan nilai untuk kernel lainnya?

— Tim

@Tim, apa yang Anda maksud dengan "bagaimana mereka menemukan"? Hanya dengan mencolokkan?

— Christoph Hanck

@amoeba Anda tidak perlu seluruh kosinus, hanya kurva antara . Seperti yang kita tahu itu jumlah polinomial yang tak terbatas (ekspansi Taylor sekitar nol).

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

— Firebug

@ChristophHanck benar, ini sudah jelas, saya menarik kembali pertanyaan ini :) Entah bagaimana saya mulai memikirkannya dalam hal distribusi Beta daripada berfokus langsung padanya.

— Tim

Kernel cosine bukan distribusi beta.

Perhatikan bahwa hal-hal berikut semuanya berlaku untuk kerapatan kosinus standar:

$f(0)=1$
$f(0.5)=0.5$
Setengah bagian kanan dari kerapatan ini secara simetris berotasi tentang : (yaitu mempertimbangkan dua sifat lainnya yang disiratkannya ) $x=\frac12$ $1-f(x)=f(1-x)$

Tetapi tidak ada kepadatan beta pada (-1,1) yang akan memiliki semua properti ini secara bersamaan.

Kerapatan kernel beta simetris dapat ditulis sebagai:

$g(x;a)= \frac{(1-x^2)^{a-1}}{\text{B}(a,a)2^{2a-1}}\,,\:-1<x<1\,,\:a>0$

Misalnya, kondisi pertama menyiratkan sekitar ( ). Yang kedua menyiratkan dari 1 ( ). $a$ $3.38175$ $p=2.38175$ $a$ $p=0$

Namun, nilai-nilai dekat yang pilihan (3,38175) memberikan kepadatan benar-benar cukup dekat dengan kosinus. $a$ $a$

[Ini cukup dekat dengan Anda (karena ); rentang nilai di wilayah ini memberikan kepadatan yang mirip dengan cosinus.] $p=2.35$ $p=a-1$

Deviasi absolut terkecil dalam kepadatan terjadi untuk - tidak berarti meminimalkan deviasi absolut akan membuat properti paling mirip. $p\approx 2.3575$

Inilah kosinus dan beta (dengan ): $p=2.3575$

Meskipun mereka tidak sama, mereka sangat mirip.

— Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Hanya ingin mengucapkan terima kasih. Sangat menarik untuk mengetahui bahwa meskipun tidak mungkin untuk mendapatkan kecocokan yang tepat, kita bisa menjadi sangat dekat dengan perkiraan.

— Tim

Nilai seharusnya tidak mengejutkan, karena pendekatan deret Taylor orde ketiga terhadap cosinus menunjukkan .

3.38 \dots

$3.38\ldots$

a = π^{2} / 4 + 1 = 3.46 \dots

$a=\pi^2/4+1=3.46\ldots$

— whuber