Apa itu Konvergensi Epsilon dalam Probabilitas?

Saya mengerti bahwa rumus untuk probabilitas konvergensi adalah $P[|X_n − X_\infty| \gt \epsilon ]\to 0$dan saya bisa memecahkan masalah menggunakan rumus. Adakah yang bisa menjelaskannya secara intuitif (seperti saya berusia lima tahun), terutama dalam hal apa$\epsilon$ adalah?

Karena kita sedang berbicara tentang konvergensi - khususnya, dalam hal ini, $X_n$ konvergen ke $X_\infty$ - kami ingin menunjukkan itu $X_n$ menjadi sangat, sangat, sangat dekat $X_\infty$ sebagai $n$ menjadi lebih besar dan lebih besar.

Pikirkan $\varepsilon$sebagai angka positif yang sangat kecil; katakan kamu pikir$\varepsilon = 0.01$cukup baik Kemudian untuk menunjukkan itu$X_n$ sangat, sangat, sangat dekat $X_\infty$, kami ingin menunjukkan itu $X_n$ jatuh di dalam $(X_\infty-0.01,X_\infty+0.01)$ untuk yang cukup besar $n$. (Cukup besar$n$ hanya berarti ada beberapa $n'$ sedemikian rupa untuk setiap $n > n'$, $X_n$ ada dalam plus atau minus $0.01$ dari $X_\infty$ dengan probabilitas 1.)

Tetapi katakan bahwa saya tidak yakin akan hal itu $X_n$ konvergen ke $X_\infty$ karena $\varepsilon=0.01$sepertinya terlalu besar untukku. Jadi sebagai gantinya, biarkan$\varepsilon = 0.0001$. Lalu aku yakin itu$X_n$ konvergen ke $X_\infty$ (atau itu $X_n$ sangat, sangat, sangat dekat $X_\infty$) jika kita bisa menunjukkan itu, cukup besar $n$, $X_n$ jatuh di dalam $(X_\infty-0.0001,X_\infty+0.0001)$.

Misalkan Anda memiliki banyak teman yang memilih $\varepsilon$menjadi lebih kecil dan lebih kecil. Gagasan di balik konvergensi adalah untuk siapa pun$\varepsilon > 0$, tidak masalah seberapa kecil $\varepsilon$ dapatkan, menunjukkan itu $X_n$ jatuh di dalam $X_\infty\pm\varepsilon$ untuk yang cukup besar $n$ menunjukkan itu $X_n$ konvergen ke $X_\infty$.

Dalam istilah yang paling mendasar, $\varepsilon$hanyalah angka positif kecil. Karena ini berkaitan dengan konvergensi, Anda ingin dapat menunjukkannya untuk apa saja$\varepsilon > 0$ (agar semua teman tak terbatas Anda berbeda $\varepsilon$ nilai diyakinkan), urutan yang konvergen akan, pada titik tertentu, masuk dalam plus atau minus $\varepsilon$dari batas yang Anda yakini urutannya menyatu. Jika Anda tidak dapat menunjukkan bahwa urutan Anda termasuk dalam$\varepsilon$ dari batas yang diyakini untuk beberapa $\varepsilon$, maka urutan tidak dapat konvergen ke batas itu.

Urutan variabel acak.

Intuisi berasal dari metafora. Metafora berikut ini, yang memodelkan jumlah acak dengan menarik selembar kertas dari wadah, menangkap semua elemen matematika yang penting sambil menutupi kondisi teknis ("terukur") yang diperlukan untuk memahami situasi dengan banyak tiket yang tak terhitung jumlahnya.

Pertimbangkan model tiket ruang sampel dalam kotak$\Omega$: nama setiap elemen $\omega\in\Omega$ditulis di selembar kertas ("tiket") yang dimasukkan ke dalam kotak. Elemen-elemen dengan probabilitas lebih besar diberi nama pada lebih banyak tiket.

Sebuah variabel acak $X$adalah cara yang konsisten dalam menulis nomor pada setiap tiket. "Konsisten" berarti semua tiket untuk yang khusus$\omega$ semua mendapatkan nilai yang sama $X$, tertulis $X(\omega)$.

Sebuah urutan variabel acak $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ karena itu dapat dipahami sebagai suatu urutan $X_1(\omega), X_2(\omega),\ldots$ tertulis di setiap tiket (sekali lagi dengan cara yang konsisten).

$X_\infty$ adalah variabel acak lain, yang merupakan satu lagi nomor yang ditulis pada setiap tiket.

Peristiwa dan probabilitas.

Membiarkan $\epsilon$menjadi bilangan real apa pun. Kami akan mengatakan lebih banyak tentang hal ini di bawah ini.

The event $|X_n - X_\infty| \ge \epsilon$ menjelaskan semua tiket $\omega\in\Omega$ untuk yang nilainya $X_n(\omega)$ dan $X_\infty(\omega)$ berbeda dengan $\epsilon$atau lebih. Ini adalah bagian dari tiket di dalam kotak. Tiket-tiket ini membentuk proporsi kotak: proporsi itu memodelkan probabilitas mereka ,$\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)$.

Batas.

Setiap pernyataan tentang batasan adalah bentuk permainan matematika. Ketika kami menulis bahwa beberapa urutan memiliki batas$L$, yang kami maksud adalah kami dapat memainkan permainan melawan lawan hipotetis (yang melakukan yang terbaik untuk membuat kami kalah) dan kami akan selalu menang . Dalam permainan batas, lawan Anda menyebutkan beberapa angka positif - biasanya angka kecil - yang akan kami sebut$\delta$. Anda menang jika Anda dapat menghapus terbatas sejumlah elemen dari urutan itu dan menunjukkan bahwa semua elemen yang tersisa berada dalam jarak$\delta$ dari $L$. Seperti dalam game apa pun, Anda dapat mengkalibrasi respons Anda terhadap gerakan lawan: elemen yang Anda hapus bergantung pada$\delta$.

Batas dalam probabilitas.

Mari kita terapkan permainan batas pada pernyataan $\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)\to 0$. Karena pernyataan ini melibatkan jumlah yang tidak ditentukan$\epsilon$, lawan Anda juga dapat menentukan nilainya. Itu membuat permainan sesulit mungkin bagi Anda untuk menang.

Jadi, apa pun nilainya $\epsilon$ dan $\delta \gt 0$ lawan Anda menentukan, respons Anda akan mencoret sejumlah variabel acak hingga $X_i$di tiket. Untuk setiap variabel acak yang tersisa$X_n$, biarkan tiketnya kemana $X_n(\omega)$ berbeda dari $X_\infty(\omega)$ oleh $\epsilon$ atau lebih menjadi "buruk" untuk $n$. Anda memenangkan permainan asalkan proporsi tiket buruk selalu kurang dari$\delta$(untuk semua yang$X_n$ yang tersisa).

Sedikit pemikiran mengungkapkan kehalusan permainan ini: tiket buruk untuk$n$ tidak harus memiliki hubungan dengan tiket buruk untuk $m$ (dimana $n$ dan $m$tunjuk salah satu variabel acak yang tersisa yang tidak Anda coret). Dengan kata lain, pada tiket mana pun nilainya$X_n(\omega)$dapat memantul di semua tempat. Batas probabilitas adalah pernyataan tentang apa yang tertulis pada semua tiket di dalam kotak tetapi itu bukan pernyataan tentang apa yang mungkin ditulis pada setiap tiket.