Gunakan

Misalkan saya mempunyai adalah iid dan saya ingin melakukan tes hipotesis bahwa adalah 0. Misalkan saya memiliki n besar dan dapat menggunakan Teorema Limit Pusat. Saya juga bisa melakukan tes bahwa adalah 0, yang harus setara dengan pengujian bahwa adalah 0. Selanjutnya, menyatu dengan chi-squared, di mana menyatu menjadi normal. Karena memiliki tingkat konvergensi yang lebih cepat, bukankah seharusnya saya menggunakannya untuk statistik uji dan dengan demikian saya akan mendapatkan tingkat konvergensi yang lebih cepat dan pengujian akan lebih efisien? $X_1,\ldots,X_n$ $\mu$ $\mu^2$ $\mu$ $n(\bar{X}^2 - 0)$ $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ $\bar{X}^2$

Saya tahu logika ini salah, tetapi saya sudah lama berpikir dan mencari dan tidak tahu mengapa.

hypothesis-testing convergence delta-method

— Xu Wang
sumber

Tidak jelas apa yang Anda minta. Bisakah Anda menjelaskan dalam arti apa tingkat konvergensi "lebih cepat" daripada ? Bagaimana Anda mengukur kurs? Statistik tes apa yang Anda gunakan dalam dua tes? Jelas bahwa pilihan ini dapat membuat perbedaan.

{\bar{X}}^{2}

$\bar X^2$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber, terima kasih atas pertanyaannya. Saya mengklaim "laju lebih cepat" karena n lebih besar dari akar kuadrat dari n. Apakah intuisi itu salah? Saya ada dalam pikiran tes statistik X-bar atau X-bar kuadrat.

— Xu Wang

Saya pikir Anda fokus pada hal yang salah. Tingkat ini memberi tahu Anda seberapa cepat distribusi sampling mendekati yang membatasi - baik standar Normal atau . Karena besar, nilainya tidak membuat perbedaan praktis - tidak relevan. Masalahnya menyangkut kekuatan masing-masing tes, bukan seberapa baik perkiraan statistik uji dengan distribusi terbatas.

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

n

$n$

— whuber

@whuber, terima kasih atas perincian ini. Saya sudah memikirkan mereka tetapi masih belum mengerti. Bukankah varians perkiraan X-bar ^ 2 pada akhirnya lebih kecil dari varians perkiraan X-bar? Dan bukankah itu hasil X-bar ^ 2 yang memiliki tingkat konvergensi yang lebih tinggi daripada X-bar? Saya minta maaf karena tidak melihat kesalahpahaman mendasar saya. Saya tahu ada sesuatu yang besar yang saya lewatkan dan berharap untuk memperbaiki pemikiran seperti itu.

— Xu Wang

Tidak masalah apakah varians perkiraan lebih besar atau lebih kecil, karena yang penting adalah distribusi statistik. Untuk melihat ini, pertimbangkan uji-t untuk dengan vs . Statistik selalu memiliki varian 100x dari , tetapi normalisasi menghasilkan kedua statistik uji aktual yang didistribusikan . Dalam kasus Anda, ingatlah bahwa mengkuadratkan varian menghasilkan varian . Pada batasnya, transformasi ini berarti bahwa kedua tes identik dalam hal kekuatan mereka diberikan tingkat yang ditentukan.

μ = 0

$\mu = 0$

x \sim N (0, 1)

$x \sim N(0,1)$

y \sim N (0, 10)

$y \sim N(0,10)$

\bar{y}

$\bar{y}$

\bar{x}

$\bar{x}$

t (n - 1)

$t(n-1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2}

$\chi^2$

— Jbowman

Kedua tes yang Anda gambarkan itu setara.

Jika saya memiliki dua hipotesis:

H_{0} : μ = 0

$H_0: \mu=0$

H_{1} : μ \neq 0

$H_1: \mu\neq0$

maka mereka setara dengan

H_{0} : μ^{2} = 0

$H_0: \mu^2=0$

H_{1} : μ^{2} > 0.

$H_1: \mu^2\gt 0.$

Jika data diketahui normal, maka rata-rata sampel juga akan Normal dengan rata-rata dan varians (yang mungkin diketahui atau tidak diketahui). $\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

$\bar{X}^2$ $\bar{X}$ $n$

P (| \bar{X} - μ | > | {\bar{X}}^{2} - μ^{2} |) \to 1

$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$

$\bar{X}$ $\chi^2$

— JDL
sumber