Menemukan MLE untuk proses Hawkes eksponensial univariat

Proses Hawkes eksponensial univariat adalah proses poin yang menarik sendiri dengan tingkat kedatangan peristiwa:

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

di mana $t_1,..t_n$ adalah kali event kedatangan.

Fungsi kemungkinan log adalah

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

yang dapat dihitung secara rekursif:

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

Metode numerik apa yang dapat saya gunakan untuk menemukan MLE? Apa metode praktis paling sederhana untuk diterapkan?

Algoritma simpleks Nelder-Mead tampaknya bekerja dengan baik .. Ini diterapkan di Jawa oleh perpustakaan Apache Commons Math di https://commons.apache.org/math/ . Saya juga menulis makalah tentang proses Hawkes di Point Process Models untuk Multivariat High-Frequency Irregularly Spaced Data .

Felix, menggunakan transformasi exp / log tampaknya memastikan positif parameter. Adapun hal alpha kecil, cari arxiv.org untuk makalah yang disebut "teorema limit untuk proses hawkes hampir tidak stabil"

Saya memecahkan masalah ini menggunakan perpustakaan nlopt . Saya menemukan sejumlah metode yang terkonvergensi cukup cepat.

Anda juga bisa melakukan maksimalisasi sederhana. Dalam R:

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)