Adalah

Apakah ? Juga, bagaimana dengan Saya bingung dengan relasinya. Tampaknya secara intuitif menjadi masalahnya. Jika benar, bagaimana saya membuktikannya secara matematis. Saya telah mencari di situs ini dan di tempat lain ... $E[E(X|Y)|Z] =E[X|Y,Z]$ $E[E(X|Y=y)|Z=z] =E[X|Y=y,Z=z]$

conditional-expectation

— KUZ
sumber

Apakah ini pertanyaan dari kursus atau buku teks? Jika demikian, silakan tambahkan [self-study]tag & baca wiki -nya .

— gung - Reinstate Monica

Tidak, ini bukan dari kursus atau buku teks. Hanya mencoba mengerti untuk diriku sendiri.

— KUZ

Dua harapan bersyarat berbeda secara umum:
$E [E (X | Y) | Z] \neq E [X | Y, Z]$ $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z] \ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$

Sebenarnya, mereka bahkan tidak hidup dalam ruang fungsional yang sama dengan yang pertama adalah fungsi , wrt terukur , aljabar diinduksi oleh , sedangkan yang kedua adalah sebuah fungsi dari , maka wrt dapat diukur , aljabar disebabkan oleh , $Z$ $\sigma(Z)$ $\sigma$ $Z$ $(Y,Z)$ $\sigma(Y,Z)$ $\sigma$ $(Y,Z)$

Sebagai contoh tandingan, pertimbangkan pengaturan kapan

$X$ dan bersifat independen $Y$
$X$ dan $Z$ tergantung, dengan $\mathbb{E}[X|Z]\ne \mathbb{E}[X]$

Lalu, karena independensi antar $X$ dan $Y$ , $\mathbb{E}(X|Y)=\mathbb{E}[X]$ dan oleh karena itu

E [E (X | Y) | Z] = E [X] \neq E [X | Y, Z]

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]= \mathbb{E}[X]\ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$

Sebaliknya, kesetaraan yang valid

E [E (X | Y, Z) | Z] = E [X | Z]

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y,Z)|Z]=\mathbb{E}[X|Z]$ yang berlaku untuk semua hubungan ketergantungan antara tiga variabel acak.

Notasi: Perbedaan antara notasi $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ dan $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ Apakah itu

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ adalah variabel acak, transformasi dari variabel acak $Z$ (dan bukan dari variabel acak $Y$ sejak $Y$ Y juga dikondisikan $Z$ );
$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ adalah fungsi dari keduanya $y$ dan $z$ , Namun pada kenyataannya hanya dari $y$ (Seperti yang dijelaskan di bawah) yang tidak memiliki makna yang jelas dari sudut pandang probabilistik . Memang, untuk nilai yang diberikan $y$ , $\mathbb{E}(X|Y=y)$ adalah konstanta yang mengambil ekspektasi kondisional tergantung pada realisasinya $Z=z$ tidak masuk akal karena juga kembali $\mathbb{E}(X|Y=y)$ . Misalnya, jika $X$ tergantung keduanya $Y$ dan $X$ sebagai variabel acak, untuk realisasi yang diberikan $y$ dari $Y$ dan $Z$ dari $z$ , $\mathbb{E}(X|Y=y)$ adalah konstanta yang umumnya berbeda dari $\mathbb{E}(X)$ dan dari $\mathbb{E}(X|Y=y,Z=z)$ . Tapi $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ adalah tidak realisasi dari variabel acak $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ . The realisasi yang benar adalah $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z=z]$

— Xi'an
sumber

Terima kasih atas komentar ini, Xi'an. Saya tidak jelas tentang tanggapan Anda pada satu hal: dalam contoh tandingan Anda, jika X dan Y independen (karena itu

E (X | Y) = E [X]

$\mathbb{E}(X|Y)= \mathbb{E}[X]$ ) dan jika X dan Z tergantung, lalu mengapa

E [E (X | Y) | Z] = E [E (X) | Z] = E [X]

$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]= \mathbb{E}[\mathbb{E}(X)|Z]= \mathbb{E}[X]$ ?

— KUZ

..karena

E [X]

$\mathbb{E}[X]$ konstan ...

— Xi'an