Perusahaan elektronik menghasilkan perangkat yang berfungsi dengan baik 95% dari waktu

Perusahaan elektronik menghasilkan perangkat yang berfungsi dengan baik 95% dari waktu. Perangkat baru dikirim dalam kotak 400. Perusahaan ingin menjamin bahwa k atau lebih banyak perangkat per kotak berfungsi. Apa k terbesar sehingga setidaknya 95% kotak memenuhi garansi?

Mencoba: Saya tahu saya harus menggunakan Teorema Limit Pusat untuk masalah ini, tetapi tidak yakin N apa yang harus di setup karena ada 400 perangkat di setiap kotak dan jumlah kotak tidak diketahui. Adakah yang bisa memberi saya petunjuk tentang pengaturan? Terima kasih!

Anda harus menganggap perangkat dalam kotak apa pun independen. Ketika itu terjadi, jumlah perangkat yang bekerja di dalam kotak apa pun harus mengikuti distribusi Binomial. Parameternya adalah$400$ (jumlah perangkat dalam kotak) dan $.95$ (tingkat kerja).

Misalkan Anda jamin $k$atau lebih banyak perangkat per pekerjaan kotak. Anda mengatakan bahwa setidaknya 95% dari semua kotak tersebut mengandung$k$atau lebih banyak perangkat yang berfungsi. Dalam bahasa variabel acak dan distribusi, Anda menyatakan bahwa kemungkinan Binomial$(400, 0.95)$ variabel sama atau melebihi $k$ setidaknya $95\%$. Solusinya ditemukan dengan menghitung$100-95$= persentil kelima dari distribusi ini. Satu-satunya bagian yang sulit adalah karena ini adalah distribusi diskrit, kita harus berhati-hati untuk tidak menjadi salah satu dari jawaban kita.

R memberitahu kita persentil kelima adalah $k=373$:

qbinom(.05, 400, .95)

373

Mari kita periksa dengan menghitung peluang untuk menyamakan atau melebihi nilai ini:

pbinom(373-1, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0,9520076

(Agak kontra-intuitif, bagi saya setidaknya, adalah bahwa lower.tail=FALSEargumen R's pbinomfungsi tersebut tidak termasuk nilai argumen. Jadi, pbinom(k,n,p,lower.tail=FALSE)menghitung kesempatan dikaitkan dengan hasil yang ketat lebih besar dari k.)

Sebagai pemeriksaan ulang, mari pastikan bahwa kami tidak dapat menjamin nilai yang lebih besar:

pbinom(373, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0,9273511

Jadi, ambang batas $0.95$ jatuh di antara dua probabilitas berturut-turut ini.

Dengan kata lain, kami telah menemukan itu

Dalam jangka panjang $95.2\%$ kotak akan berisi $k=373$ atau lebih banyak perangkat yang berfungsi, tetapi hanya $92.7\%$ dari mereka akan mengandung $374$atau lebih banyak perangkat yang berfungsi. Karena itu kita tidak boleh menjamin lebih dari$373$ jika kita mau $95\%$ atau lebih banyak kotak untuk memenuhi standar ini.

Kebetulan, distribusi normal ternyata menjadi perkiraan yang sangat baik untuk pertanyaan khusus ini. (Daripada menampilkan jawaban yang akan Anda dapatkan, saya akan menyerahkan kepada Anda untuk melakukan perhitungan, karena Anda meminta informasi hanya tentang cara mengatur masalah.)

Plot ini membandingkan fungsi distribusi Binomial dengan probabilitas Normal yang diperkirakan.

Keduanya tidak sepenuhnya setuju - tapi dekat$k=373$ mereka memang sangat dekat.

"Setidaknya" dari "setidaknya 95%" berarti "min".

Kode:

#reproducible
set.seed(250048)

#how many times to check
N_repeats <- 500000

#stage for loop
temp <- numeric()

#loop
for (j in 1:N_repeats){

     #draw 400 samples at 95% rate
     y <- rbinom(n = 400,size = 1,prob = 0.95)

     #compute and store sampled rate
     temp[j] <- mean(y)

}

#print summary (includes min)
summary(temp)

Hasil:

> summary(temp)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.8900  0.9425  0.9500  0.9500  0.9575  0.9925

Ketika saya melihat ini, saya melihat bahwa nilai minimum untuk tarif adalah 89%. Ini berarti bahwa dalam setengah juta percobaan, kasus terburuk adalah 89% berfungsi.

89% dari 400 adalah 356. Ini memberi sekitar 100%, bukan 95%. Kemungkinan 100% aktual lebih rendah dari ini.

#find the 95% case
quantile(temp,probs = 0.05)

hasil:

> quantile(temp,probs = 0.05)
    5% 
0.9325 

93.25% dari 400 adalah 373. Ini bukan tepi data, tetapi interior, sehingga kemungkinan merupakan perkiraan yang baik. Jawaban Anda akan mendekati 373.