Terikat perbedaan antara Korelasi Spearman dan Korelasi Kendall

Saya mencoba untuk membuktikan atau membantah bahwa perbedaan antara Korelasi Spearman dan Korelasi Kendall tidak lebih dari 1 (atau kurang, semakin ketat semakin meriahnya).

Saya berasumsi tidak ada ikatan.

Dalam upaya untuk menyangkal hasil menggunakan contoh penghitung, saya memeriksa semua kemungkinan untuk vektor dengan panjang 8. Mendapat beberapa gambar cantik tetapi tidak ada contoh penghitung:

perbedaan:

Perbedaannya tidak pernah lebih dari 0,4 dalam kasus ini, jadi saya pikir itu benar, tetapi saya tidak dapat membuktikannya.

correlation spearman-rho kendall-tau

— Pqqwetiqe
sumber

Ada posting yang sangat menarik yang bisa menjadi duplikat parsial untuk pertanyaan Anda. Itu adalah "Kendall Tau atau Spearman rho? Stats.stackexchange.com/questions/3943/kendall-tau-or-spearmans-rho.

— Michael R. Chernick

Bagi mereka yang mungkin ingin menangani pendekatan aljabar langsung, saya percaya hasilnya dapat diperoleh dalam dua langkah. Pertama (langkah kunci), tunjukkan bahwa nilai absolut ekstrim dari perbedaan diperoleh untuk data

(1, n), (2, n - 1), \dots, (n, 1), (n + 1, 2 n), (n + 2, 2 n - 1), \dots, (2 n, n + 1)

$(1,n),(2,n-1),\ldots, (n,1),(n+1,2n),(n+2,2n-1),\ldots,(2n,n+1)$ untuk

2 n

$2n$ poin dan

(1, n + 1), (2, n), \dots, (n + 1, 1), (n + 2, 2 n + 1), (n + 3, 2 n), \dots, (2 n + 1, n + 2)

$(1,n+1),(2,n),\ldots,(n+1,1),(n+2,2n+1),(n+3,2n),\ldots,(2n+1,n+2)$ untuk

2 n + 1

$2n+1$ poin. Kemudian hitung saja perbedaan untuk dataset ini. (Dalam kasus pertama ada maksimum lain dan dalam kasus kedua ada tiga maksima lainnya tersirat oleh simetri yang jelas.)

— whuber

@ Glen_b Jika saya benar, maka perbedaan absolut maksimum untuk data panjang

n

$n$ adalah

\frac{2 (n - 2) ⌈ \frac{n}{2} ⌉ ⌊ \frac{n}{2} ⌋}{n (n^{2} - 1)},

$\frac{2 (n-2) \left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }{n \left(n^2-1\right)},$ yang memiliki nilai batas

1 / 2

$1/2$ (dari bawah) sebagai

n \to \infty .

$n\to\infty.$ Itu mendukung apa yang Anda tulis. Rumus ini terkait dengan A111384 , yang nilainya dibagi dengan

n (n^{2} - 1) / 4

$n(n^2-1)/4$ .

— whuber

Batas itu tampaknya cocok dengan rumus Anda untuk genap n (dan kasus pembatas Anda di komentar sebelumnya tampaknya cocok dengan yang diperoleh dengan perhitungan lengkap untuk semua kecil

n

$n$ nilai-nilai yang bisa saya periksa - tapi saya harap Anda sudah melakukannya). Sangat menarik bahwa batasnya adalah 1/2. Apakah saya melakukan kesalahan dalam kasus aneh? (sunting: Tidak, saya mengerti sekarang, saya benar-benar terlepas dari memanipulasi rumus Anda)

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Batas dari

1 / 2

$1/2$ intuitif: untuk pola yang saya jelaskan, Spearman dekat dengan

1 / 2

$1/2$ sementara Kendall

O (1 / n)

$O(1/n)$ . Aljabar ini disederhanakan dengan menggeneralisasikan pendekatan "krayon" saya terhadap kovarians. Berikut Rkode yang mengimplementasikan formula yang relevan. Argumen terdiri dari dua permutasi dari 1:n. Spearman : function(x, y) mean(outer(x, x, '-') * outer(y, y, '-')) * 6 / (length(x)^2 - 1) Kendall :function(x,y) mean(sign(outer(x, x, '-')) * sign(outer(y, y, '-'))) * (1 + 1/(length(x)-1))

— whuber

Anda mungkin ingin melihat makalah ini ! Dan karya-karya lain oleh para penulis ini. Saya tidak ingat persis di mana, tetapi saya telah melihat grafik pertama Anda di koran mereka, dan beberapa bukti bersamanya. Saya pikir ini dapat dilakukan dengan memanfaatkan kopula (seperti Kendall tau dan Spearman rho dapat ditulis sebagai fungsi dari kopula yang mendasari antara dua variabel). Semoga ini bisa membantu.

$C$ adalah copula dari $(X,Y)$ .

$\tau(X,Y) = 4\int_0^1 \int_0^1 C(u,v) c(u,v) du dv - 1$

(Korelasi Kendall adalah harapan kopula yang diubah menjadi $[0,1]$ )

$\rho(X,Y) = 12 \int_0^1 \int_0^1 C(u,v) du dv - 3$

Kemudian, $|\tau - \rho| \leq \ldots$

— mik
sumber

Makalah ini merupakan referensi yang bagus untuk teknik yang dipamerkan. Namun, tampaknya tidak mengandung hasil yang akan dengan mudah menyiratkan yang diduga dalam pertanyaan ini. Itu terutama karena hasilnya tidak universal: mereka berlaku dalam berbagai kondisi terbatas dan itupun hanya dalam batas ketika distribusi bersama mendekati kemerdekaan.

— whuber