Mengapa P (A, B | C) / P (B | C) = P (A | B, C)?

Saya mengerti $P(A\cap B)/P(B) = P(A|B)$ . Yang bersyarat adalah persimpangan A dan B dibagi dengan seluruh area B.

Tetapi mengapa $P(A\cap B|C)/P(B|C) = P(A|B \cap C)$ ?

Bisakah Anda memberi intuisi?

Bukankah seharusnya: ?$P(A\cap B \cap C)/P(B,C) = P(A|B \cap C)$

Setiap hasil probabilitas yang benar untuk probabilitas tanpa syarat tetap benar jika semuanya dikondisikan pada beberapa peristiwa.

Anda tahu bahwa menurut definisi, dan jadi jika kita mengkondisikan segala sesuatu padaCterjadi, kita mendapatkan bahwa P(A∣(B∩C))=P((A∩B)∣C

$$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\tag{1}$$ $C$ persis seperti intuisi Anda memberitahu Anda. Tetapi, Anda dapat mengaturD=B∩C dan mulai dengan definisiP(A∣(B∩C))=P(A∣D)seperti pada(1)P(A∣(B∩C))=P(A∣D)=P $$P(A\mid (B \cap C)) = \frac{P((A\cap B)\mid C)}{P(B\mid C)}\tag{2}$$ $D = B\cap C$$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D)$$(1)$ lalu kalikan dan bagi denganP(C))di sebelah kanan(3)untuk menulis hasil akhir sebagai(2)seperti dalam jawaban Taylor. $$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{P(A\cap (B \cap C))}{P(B\cap C)} = \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}\tag{3}$$ $P(C))$$(3)$$(2)$

$$\Pr[A \cap B \mid C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[B \mid C] = \frac{\text{"1"} + \text{"2"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[A \mid B \cap C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"1"} + \text{"2"}},$$

$$\begin{align*} \frac{P(A,B|C)}{P(B|C)} &= \frac{P(A,B,C)}{P(C)}\frac{P(C)}{P(B,C)} \\ &= \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} \\ &= P(A|B,C) \end{align*}$$

Intuisi saya adalah sebagai berikut ...

Pengkondisian aktif $C$ berarti bahwa kami hanya mempertimbangkan kasus ketika $C$diberikan. Sekarang, anggaplah saya hidup di dunia di mana$C$ selalu diberikan.

Pepole saya tidak tahu apa-apa tentang dan tidak bisa membayangkan dunia tanpa $C$. Untuk beberapa alasan, matematikawan kami menunjukkan probabilitas$X$ oleh $\hat{P}(X)$. Mereka juga sudah menemukan aturannya

$$\hat P(A|B) = \frac{\hat P(A\cap B)}{\hat P(B)}\text{.}$$

Sekarang, Anda sebagai penduduk bumi, tahu dunia di mana $C$bukan bagian dari asumsi dalam kehidupan sehari-hari. Jadi, ketika Anda datang ke planet kita, Anda dapat segera melihat, bahwa setiap kemungkinan kami$\hat P(X)$ sebenarnya sesuai dengan Anda $P(X|C)$.

Anda segera dapat menulis ulang RHS, mengikuti penemuan atas:

$$\frac{P(A\cap B\mid C)}{P(B \mid C)}\text{.}$$

Tapi ... Apa itu LHS? Nah, berapa probabilitasnya$A$ kapan $B$ diberikan kapan $C$Apakah (juga) diberikan? Tepat

$$P(A\mid B\cap C)\text{,}$$ karenanya rumus.