Harapan bersyarat dari derivasi RV terpotong, distribusi gumbel (perbedaan logistik)

Saya memiliki dua variabel acak yang independen dan terdistribusi secara identik, yaitu $\epsilon_{1}, \epsilon_{0} \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Gumbel}(\mu,\beta)$ :

F (ϵ) = \exp (- \exp (- \frac{ϵ - μ}{β})),

$F(\epsilon) = \exp(-\exp(-\frac{\epsilon-\mu}{\beta})),$

f (ϵ) = \frac{1}{β} \exp (- (\frac{ϵ - μ}{β} + \exp (- \frac{ϵ - μ}{β}))) .

$f(\epsilon) = \dfrac{1}{\beta}\exp(-\left(\frac{\epsilon-\mu}{\beta}+\exp(-\frac{\epsilon-\mu}{\beta})\right)).$

Saya mencoba menghitung dua jumlah:

$E_{ϵ_{1}} E_{ϵ_{0} | ϵ_{1}} [c + ϵ_{1} | c + ϵ_{1} > ϵ_{0}]$ $\mathbb{E}_{\epsilon_{1}}\mathbb{E}_{\epsilon_{0}|\epsilon_{1}}\left[c+\epsilon_{1}|c+\epsilon_{1}>\epsilon_{0}\right]$
$E_{ϵ_{1}} E_{ϵ_{0} | ϵ_{1}} [ϵ_{0} | c + ϵ_{1} < ϵ_{0}]$ $\mathbb{E}_{\epsilon_{1}}\mathbb{E}_{\epsilon_{0}|\epsilon_{1}}\left[\epsilon_{0}|c+\epsilon_{1}<\epsilon_{0}\right]$

Saya sampai pada titik di mana saya perlu melakukan integrasi pada sesuatu dari formulir: $e^{e^{x}}$ , yang tampaknya tidak memiliki integral dalam bentuk tertutup. Adakah yang bisa membantu saya dengan ini? Mungkin saya telah melakukan sesuatu yang salah.

Saya merasa pasti ada solusi bentuk tertutup. (EDIT: Sekalipun itu bukan bentuk tertutup, tetapi akan ada perangkat lunak untuk dengan cepat mengevaluasi integral [seperti Ei (x)], itu akan baik-baik saja kurasa.)

EDIT:

Saya pikir dengan perubahan variabel, mari

y = \exp (- \frac{ϵ_{1} - μ}{β})

$y =\exp(-\frac{\epsilon_{1}-\mu}{\beta})$ dan

μ - β \ln y = ϵ_{1}

$\mu-\beta\ln y =\epsilon_{1}$

Ini memetakan ke $[0,\;\infty)$ dan $\left[0,\;\exp(-\frac{\epsilon_{0}-c-\mu}{\beta})\right]$ masing-masing.

$|J|=|\dfrac{d\epsilon}{dy}|=\frac{\beta}{y}$ . Kemudian di bawah perubahan variabel, saya telah direbus (1) ke ...

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 - e^{- x}} (\int_{μ - β \ln x - c}^{\infty} [c + μ - β \ln y] e^{- y} d y) e^{- x} d x

$\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1-e^{-x}}\left(\int_{\mu-\beta\ln x-c}^{\infty}\left[c+\mu-\beta\ln y\right]e^{-y}dy\right)e^{-x}dx$

Mungkin ada kesalahan aljabar tapi saya masih belum bisa menyelesaikan integral ini ...

PERTANYAAN TERKAIT: Ekspektasi Maksimum dari Variabel Gumbel iid

— wolfsatthedoor
sumber

Jelas tidak ada solusi bentuk tertutup. Mengapa Anda merasa harus ada?

— Gordon Smyth

@GordonSmyth Bagaimana Anda tahu tidak ada solusi formulir tertutup?

— wolfsatthedoor

Karena parameternya $(\mu,\beta)$ distribusi Gumbel adalah lokasi dan skala, masing-masing, masalahnya disederhanakan menjadi komputasi

E [ϵ_{1} | ϵ_{1} + c > ϵ_{0}] = \frac{\int_{- \infty}^{+ \infty} x F (x + c) f (x) d x}{\int_{- \infty}^{+ \infty} F (x + c) f (x) d x}

$\mathbb{E}[\epsilon_1|\epsilon_1+c>\epsilon_0]= \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} x F(x+c) f(x) \text{d}x}{\int_{-\infty}^{+\infty} F(x+c) f(x) \text{d}x}$ dimana

f

$f$ dan

F

$F$ dikaitkan dengan

μ = 0

$\mu=0$ ,

β = 1

$\beta=1$ . Penyebut tersedia dalam bentuk tertutup

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (x + c) f (x) d x & = \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp {- \exp [- x - c]} \exp {- x} \exp {- \exp [- x]} d x \\ \overset{a = e^{c}}{=} \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp {- (1 + a) \exp [- x]} \exp {- x} d x \\ = \frac{1}{1 + a} {[\exp {- (1 + a) e^{- x}}]}_{- \infty}^{+ \infty} \\ = \frac{1}{1 + a} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} F(x+c) f(x) \text{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-\exp[-x-c]\}\exp\{-x\}\exp\{-\exp[-x]\}\text{d}x\\&\stackrel{a=e^c}{=}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-(1+a)\exp[-x]\}\exp\{-x\}\text{d}x\\&=\frac{1}{1+a}\left[ \exp\{-(1+a)e^{-x}\}\right]_{-\infty}^{+\infty}\\ &=\frac{1}{1+a} \end{align*}$ Pembilang melibatkan integral eksponensial sejak (menurut integrator WolframAlpha )

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} x F (x + c) f (x) d x & = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \exp {- (1 + a) \exp [- x]} \exp {- x} d x \\ \overset{z = e^{- x}}{=} \int_{0}^{+ \infty} \log (z) \exp {- (1 + a) z} d z \\ = \frac{- 1}{1 + a} {[Ei (- (1 + a) z) - \log (z) e^{- (1 + a) z}]}_{0}^{\infty} \\ = \frac{γ + \log (1 + a)}{1 + a} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} x F(x+c) f(x) \text{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \exp\{-(1+a)\exp[-x]\}\exp\{-x\}\text{d}x\\ &\stackrel{z=e^{-x}}{=} \int_{0}^{+\infty} \log(z) \exp\{-(1+a)z\}\text{d}z\\ &= \frac{-1}{1+a}\left[\text{Ei}(-(1+a) z) -\log(z) e^{-(1+a) z}\right]_{0}^{\infty}\\ &= \frac{\gamma+\log(1+a)}{1+a} \end{align*}$ Karenanya

E [ϵ_{1} | ϵ_{1} + c > ϵ_{0}] = γ + \log (1 + e^{- c})

$\mathbb{E}[\epsilon_1|\epsilon_1+c>\epsilon_0]=\gamma+\log(1+e^{-c})$ Hasil ini dapat dengan mudah diperiksa dengan simulasi, karena menghasilkan jumlah varian Gumberl untuk mengubah varian Uniform (0,1),

U

$U$ , sebagai

X = - \log {- \log (U)}

$X=-\log\{-\log(U)\}$ . Monte Carlo dan sarana teoretis setuju:

— Xi'an
sumber

Apakah Anda menyadari epsilon0 adalah rv juga?

— wolfsatthedoor