Bagaimana menemukan probabilitas hari Minggu tambahan dalam satu tahun kabisat?


8

Berapa peluang satu tahun kabisat akan memiliki 53 Minggu?

Sesuai uji coba saya, apakah akan 2/7? Karena 366 hari dalam satu tahun kabisat berarti 52 minggu dan 2 hari lagi, jadi dari dua hari tambahan, probabilitas hari Minggu adalah 2/7.

PS: Ini pertanyaan yang saya temukan di buku statistik dasar.


1. Anda mengatakan "tahun tidak kabisat" dalam paragraf pertama Anda, tetapi paragraf kedua Anda dengan jelas membahas tahun kabisat (yang memiliki 366 hari - bertentangan dengan paragraf pertama). Tolong jelaskan pertanyaan Anda. (Anda juga harus memperjelas bagaimana pertanyaan ini muncul; apakah ini terkait dengan kursus, misalnya? Jika tidak, bagaimana hal itu muncul?)
Glen_b -Reinstate Monica

4
2. Kejadian hari Minggu bukanlah proses acak. Setiap tahun tertentu akan memiliki jumlah hari Minggu persis yang tidak berubah yang diketahui sebelum Anda mengamati tahun itu. Agar pertanyaan masuk akal sebagai pertanyaan probabilitas, Anda perlu mengajukan pemilihan acak tahun (yang tidak Anda sebutkan), tetapi untuk mendapatkan tempat, kita perlu memahami bagaimana tahun dipilih dan dari populasi nosional mana (kalender sekarang hanya sekitar beberapa ratus tahun; jumlah tahun sebenarnya dengan 53 hari Minggu mungkin tidak cukup 2/7. Sekali lagi, tolong jelaskan sifat pertanyaan Anda.
Glen_b -Reinstate Monica

Halo, glen_b, terima kasih telah mengidentifikasi kesalahan saya saat mengetik. Ya pertanyaannya hanya untuk tahun kabisat. Saya telah mengedit pertanyaan juga
Manali Chatterjee

2
Terima kasih telah menanggapi poin saya 1. Saya telah menambahkan self-studytag - lihat komentar di pusat bantuan tentang masalah rutinitas pembukuan (dibahas di dalam pekerjaan rumah di sana tetapi itu berlaku untuk masalah buku teks seperti ini). Ada klarifikasi tambahan yang benar-benar diperlukan dalam kaitannya dengan poin 2 (terkait dengan apa yang diasumsikan populasi dan model pengambilan sampel), meskipun jika Anda langsung mengutip pertanyaan awal, klarifikasi yang diperlukan kemudian beralih ke asumsi yang diperlukan untuk jawaban.
Glen_b -Reinstate Monica

Jawaban:


13

Kalender Gregorian berpihak pada lima dari tujuh hari kerja selama tahun kabisat. Karena itu peluangnya tidak tepat .2/7

Ini pada dasarnya masalah B3 dalam Kompetisi Matematika Putnam 1950 :

n dipilih secara acak dari bilangan asli. Tunjukkan bahwa probabilitas bahwa 25 Desember pada tahun adalah hari Rabu bukanlah 1/7.n


Dalam Kalender Gregorian , tahun yang merupakan kelipatan dari adalah tahun kabisat (dengan hari), tetapi tahun yang merupakan kelipatan bukan tahun kabisat (dan karenanya memiliki hari), dengan pengecualian bahwa tahun yang merupakan kelipatan adalah tahun kabisat. (Banyak dari kita ingat pengecualian terbaru pada tahun ). Ini menciptakan siklus tahun yang mengandung tahun kabisat.47×52+2=3661007×52+1=3654002000400400/4400/100+400/400=97

Yang sangat menarik adalah bahwa jumlah total hari dalam siklus ini adalah kelipatan tujuh:

400×(7×52+1)+97×1400+9771×70mod7.

Ini menunjukkan bahwa siklus tahun terdiri dari seluruh minggu. Akibatnya, pola hari dalam seminggu persis sama dari satu siklus ke siklus berikutnya.400

Karena itu kami dapat menginterpretasikan pertanyaan sebagai menanyakan peluang hari Minggu ketika mengambil sampel secara acak dan seragam dari setiap tahun siklus tahun kabisat. Perhitungan brute-force (menggunakan, katakanlah, fakta bahwa 1 Januari 2001, adalah hari Senin) menunjukkan bahwa dari tahun kabisat dalam setiap siklus memiliki hari Minggu. Karena itu kesempatannya adalah53400289753

Pr(53 Sundays)=2897.

Perhatikan bahwa ini tidak sama dengan : itu sedikit lebih besar. Secara kebetulan, ada peluang yang sama yaitu Rabu, Jumat, Sabtu, atau Senin dan hanya peluang dari Selasa atau Kamis.28/98=2/75327/9753


Bagi mereka yang ingin membuat perhitungan lebih rinci (dan mungkin tidak mempercayai penyederhanaan matematis), berikut ini adalah kode brute force yang menghitung dan memeriksa setiap hari dalam seminggu selama beberapa tahun tertentu. Pada akhirnya ini menampilkan jumlah tahun dengan penampilan setiap hari dalam seminggu. Itu ditulis dalam . 53R

Berikut ini adalah output untuk siklus :20012400

Friday    Monday  Saturday    Sunday  Thursday   Tuesday Wednesday 
    28        28        28        28        27        27        28 

Ini kodenya sendiri.

leapyear <- function(y) {
  (y %% 4 == 0 & !(y%% 100 == 0)) | (y %% 400 == 0)
}
leapyears <- seq(2001, length.out=400)
leapyears <- leapyears[leapyear(leapyears)]
results <- sapply(leapyears, function(y) {
  table(weekdays(seq.Date(as.Date(paste0(y, "-01-01")), by="1 day", length.out=366)))
})
rowSums(results==53)

1
Menurut saya, ini menunjukkan jenis perawatan yang dibutuhkan untuk memahami pertanyaan itu. Tanpa populasi yang pasti dan beberapa proses acak untuk memilih tahun darinya, bahkan tidak masuk akal untuk berbicara tentang probabilitas dalam kaitannya dengan jumlah hari Minggu dalam satu tahun; Saya pikir "2/7" (bahwa penulis pertanyaan mungkin diinginkan) tidak siap dipertahankan sebagai jawaban - segera setelah Anda mencoba, untuk membuat itu bekerja, semua jenis masalah menjadi jelas dan kita harus diseret dalam sebuah pembatasan buatan pada periode yang dipertimbangkan yang tidak ada dalam pertanyaan.
Glen_b -Reinstate Monica

3

Ya, alasan Anda benar. Dalam jangka panjang, tahun kabisat hampir sama kemungkinannya untuk dimulai pada hari apa pun dalam seminggu. Jadi peluang 2 hari ekstra termasuk hari Minggu adalah sekitar 2/7.

W huber menunjukkan bahwa kekhasan Kalender Gregorian menyebabkan hari awal tahun kabisat tidak terdistribusi secara seragam, sehingga probabilitas sebenarnya dari 53 hari Minggu adalah 1% atau lebih besar dari 2/7. Namun 2/7 hampir pasti merupakan jawaban yang penulis maksudkan untuk Anda temukan.


4
Agar benar, jawaban ini membutuhkan beberapa asumsi yang sangat spesifik: tepatnya berapa tahun yang Anda pikirkan? Untuk sebagian besar rentang, tidak akan menjadi jawaban yang tepat. 2/7
whuber

2
@ w huber Saya tidak ragu bahwa 2/7 adalah jawaban yang dimaksudkan oleh penulis buku ajar dari mana pertanyaan itu berasal. Kesenangan dalam jawaban Anda benar dan menarik tetapi, saya berpendapat, tidak membantu OP mempelajari statistik dasar.
Gordon Smyth

2
Saya setuju dengan sebagian besar dari itu, terutama dengan tidak membantu mempelajari statistik - tetapi kritik harus diarahkan pada buku teks, bukan pada solusi untuk latihannya. Apa yang mungkin menjadi perhatian utama di sini adalah untuk menggambarkan proses menganalisis pertanyaan - bahkan pertanyaan buku teks - dan untuk menunjukkan bahwa kadang-kadang jawaban yang "jelas" secara intuitif tidak cukup benar. Kejutan seperti ini banyak mengajari kita. Selain itu, terkadang konsekuensi besar muncul dari perbedaan kecil. (Saya sedang mengerjakan sebuah kasus di mana perbedaan ukuran ini mengubah tuntutan hukum sebesar satu juta dolar.)
whuber

2
Tidak ada kritik yang ditujukan. Secara pribadi saya senang dengan pertanyaan buku teks dan dengan solusi yang sangat baik dan tidak terduga.
Gordon Smyth
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.