Bagaimana menemukan probabilitas hari Minggu tambahan dalam satu tahun kabisat?

Berapa peluang satu tahun kabisat akan memiliki 53 Minggu?

Sesuai uji coba saya, apakah akan 2/7? Karena 366 hari dalam satu tahun kabisat berarti 52 minggu dan 2 hari lagi, jadi dari dua hari tambahan, probabilitas hari Minggu adalah 2/7.

PS: Ini pertanyaan yang saya temukan di buku statistik dasar.

Kalender Gregorian berpihak pada lima dari tujuh hari kerja selama tahun kabisat. Karena itu peluangnya tidak tepat .$2/7$

Ini pada dasarnya masalah B3 dalam Kompetisi Matematika Putnam 1950 :

$n$ dipilih secara acak dari bilangan asli. Tunjukkan bahwa probabilitas bahwa 25 Desember pada tahun adalah hari Rabu bukanlah 1/7.$n$

Dalam Kalender Gregorian , tahun yang merupakan kelipatan dari adalah tahun kabisat (dengan hari), tetapi tahun yang merupakan kelipatan bukan tahun kabisat (dan karenanya memiliki hari), dengan pengecualian bahwa tahun yang merupakan kelipatan adalah tahun kabisat. (Banyak dari kita ingat pengecualian terbaru pada tahun ). Ini menciptakan siklus tahun yang mengandung tahun kabisat.$4$$7\times 52 + 2=366$$100$$7\times 52+1=365$$400$$2000$$400$$400/4 - 400/100 + 400/400 = 97$

Yang sangat menarik adalah bahwa jumlah total hari dalam siklus ini adalah kelipatan tujuh:

Ini menunjukkan bahwa siklus tahun terdiri dari seluruh minggu. Akibatnya, pola hari dalam seminggu persis sama dari satu siklus ke siklus berikutnya.$400$

Karena itu kami dapat menginterpretasikan pertanyaan sebagai menanyakan peluang hari Minggu ketika mengambil sampel secara acak dan seragam dari setiap tahun siklus tahun kabisat. Perhitungan brute-force (menggunakan, katakanlah, fakta bahwa 1 Januari 2001, adalah hari Senin) menunjukkan bahwa dari tahun kabisat dalam setiap siklus memiliki hari Minggu. Karena itu kesempatannya adalah$53$$400$$28$$97$$53$

Perhatikan bahwa ini tidak sama dengan : itu sedikit lebih besar. Secara kebetulan, ada peluang yang sama yaitu Rabu, Jumat, Sabtu, atau Senin dan hanya peluang dari Selasa atau Kamis.$28/98 = 2/7$$53$$27/97$$53$

Bagi mereka yang ingin membuat perhitungan lebih rinci (dan mungkin tidak mempercayai penyederhanaan matematis), berikut ini adalah kode brute force yang menghitung dan memeriksa setiap hari dalam seminggu selama beberapa tahun tertentu. Pada akhirnya ini menampilkan jumlah tahun dengan penampilan setiap hari dalam seminggu. Itu ditulis dalam . $53$R

Berikut ini adalah output untuk siklus :$2001-2400$

Friday    Monday  Saturday    Sunday  Thursday   Tuesday Wednesday 
    28        28        28        28        27        27        28 

Ini kodenya sendiri.

leapyear <- function(y) {
  (y %% 4 == 0 & !(y%% 100 == 0)) | (y %% 400 == 0)
}
leapyears <- seq(2001, length.out=400)
leapyears <- leapyears[leapyear(leapyears)]
results <- sapply(leapyears, function(y) {
  table(weekdays(seq.Date(as.Date(paste0(y, "-01-01")), by="1 day", length.out=366)))
})
rowSums(results==53)

Ya, alasan Anda benar. Dalam jangka panjang, tahun kabisat hampir sama kemungkinannya untuk dimulai pada hari apa pun dalam seminggu. Jadi peluang 2 hari ekstra termasuk hari Minggu adalah sekitar 2/7.

W huber menunjukkan bahwa kekhasan Kalender Gregorian menyebabkan hari awal tahun kabisat tidak terdistribusi secara seragam, sehingga probabilitas sebenarnya dari 53 hari Minggu adalah 1% atau lebih besar dari 2/7. Namun 2/7 hampir pasti merupakan jawaban yang penulis maksudkan untuk Anda temukan.