Rata-rata harmonik meminimalkan jumlah kesalahan relatif kuadrat

Saya mencari referensi di mana terbukti bahwa rata-rata harmonik

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{saya = 1}^{n} \frac{1}{x_{saya}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

meminimalkan (dalam $z$ ) jumlah kesalahan relatif kuadrat

\sum_{saya = 1}^{n} (\frac{(x_{saya} - z)^{2}}{x_{saya}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

— Martin Van der Linden
sumber

Jawaban:

Mengapa Anda membutuhkan referensi? Ini adalah masalah kalkulus sederhana: Untuk masalah seperti yang Anda rumuskan, kita harus menganggap bahwa semua . Kemudian menentukan fungsi $x_i > 0$ Kemudian menghitung derivatif sehubungan dengan:

f (z) = \sum_{saya = 1}^{n} \frac{(x_{saya} - z)^{2}}{x_{saya}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

kemudian menyelesaikan persamaan

memberikan solusi. Sekarang, tentu saja kita harus memeriksa apakah ini memang minimum, untuk itu hitung turunan kedua:

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{saya = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{saya}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

untuk ketimpangan terakhir yang kami gunakan, akhirnya, semua

. Tanpa asumsi itu, kita memang bisa mengambil risiko bahwa kita telah menemukan maksimum!

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{saya = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{saya}}) = 2 \sum_{saya = 1}^{n} \frac{1}{x_{saya}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$

Adapun referensi, mungkin https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean atau https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean atau referensi di dalamnya.

— kjetil b halvorsen
sumber

Terima kasih atas jawaban anda. Referensi akan menghemat ruang. Saya ingin mengutip hasilnya sebagai Lemma menjadi bukti lain tanpa harus menyertakan bukti Lemma yang lengkap.

— Martin Van der Linden

Sulit untuk menemukan referensi eksplisit, itu dianggap dasar untuk pantas mendapatkan satu! Tidak bisakah Anda mengatakan bahwa bukti adalah latihan dasar kalkulus?

— kjetil b halvorsen

Sebagai dasar seperti itu, saya selalu lebih suka memberikan referensi. Tetapi saya mengerti bahwa hasil dasar sulit untuk menemukan referensi, dan menyerahkan bukti kepada pembaca jelas merupakan pilihan.

— Martin Van der Linden

Ping sementara di luar topik: pertimbangkan untuk memilih sinonim spearman-> spearman-rho di sini stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonim . Terima kasih

— amoeba berkata Reinstate Monica

$1/x_i$

$\beta$

\sum ω_{saya} (y_{saya} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

$x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{saya} x_{saya} ω_{saya}}{\sum_{saya} ω_{saya}} = \frac{\sum_{saya} x_{saya} / x_{saya}}{\sum_{saya} 1 / x_{saya}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{saya}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

QED .

Komentar

Analisis yang sama berlaku untuk setiap set bobot positif, memberikan generalisasi rata-rata harmonik dan cara yang berguna untuk menggambarkannya.
$x_i$
$x_i$ $W$

Referensi

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck, dan G. Geoffrey Vining, Pengantar Analisis Regresi Linier. Edisi Kelima. J. Wiley, 2012. Bagian 5.5.2.

— whuber
sumber