Bagaimana saya bisa menghitung ?


8

Misalkan adalah sampel acak dari fungsi distribusi kontinu . Biarkan independen dari . Bagaimana saya bisa menghitung ?Y1,,Yn+1FXUniform{1,,n}YiE[i=1XI{YiYn+1}]


1
Ini terlihat seperti harapan bersyarat dari variabel acak , mengingat bahwa . Apa yang ? Atau, apakah Anda mencoba menulis fungsi indikator? Seperti ? IYiYn+1II{YiYn+1}
GoF_Logistic

1
Jika adalah fungsi indikator gunakan saja linearitas harapan. I
Łukasz Grad

2
Apa arti bilah vertikal itu di " "? Ini bukan notasi konvensional untuk fungsi indikator, yang menimbulkan keraguan tentang pertanyaan ini. IYiYn+1
whuber

Mungkin OP hanya dimaksudkan untuk menggunakan bilah vertikal pertama. Itu bisa berarti dimaksudkan untuk pengondisian.
Michael R. Chernick

1
@ Zen Saya yakin Anda mungkin salah paham: suntingan seseorang (Anda?) Telah memperbaiki masalah notasi, bukan menciptakannya! Dengan rollback, notasi aneh telah kembali.
Whuber

Jawaban:


5

Berikut adalah jawaban alternatif untuk @Lucas 'menggunakan hukum harapan yang diulang:

E[saya=1X1(YsayaYn+1)]=E[E[saya=1X1(YsayaYn+1)|X]]=E[saya=1XE[1(YsayaYn+1)|X]]=E[saya=1XE[1(YsayaYn+1)]]=E[saya=1XE[E[1(YsayaYn+1)|Yn+1]]]=E[saya=1XE[F(Yn+1)]]=E[X]E[F(Yn+1)]=n+12E[F(Yn+1)]

Langkah ketiga mengikuti dari independensi dan dari ; langkah keempat sekali lagi merupakan penerapan hukum harapan yang diulang; langkah terakhir hanyalah penerapan formula untuk ekspektasi variabel acak seragam diskrit.YsayaYn+1X

Dengan membalikkan urutan integrasi, kami memperoleh harapan yang tersisa:

E[F(Yn+1)]=-F(y)dF(y)=--ydF(x)dF(y)=-xdF(y)dF(x)=-(1-F(x))dF(x)=1-E[F(Yn+1)]

yang menyiratkan . Karenanya:E[F(Yn+1)]=12

E[saya=1X1(YsayaYn+1)]=n+14

5

Dengan simetri distribusi, , untuk setiap . Karena adalah kontinu, kita memiliki Karena itu, . Sekarang, kita memiliki Pr{YsayaYn+1}=Pr{Yn+1Ysaya}saya=1,...,nF

Pr{YsayaYn+1}=1-Pr{Yn+1<Ysaya}=1-Pr{Yn+1Ysaya}.
E[saya{YsayaYn+1}]=Pr{YsayaYn+1}=1/2
E[saya=1Xsaya{YsayaYn+1}|X=x]=E[saya=1xsaya{YsayaYn+1}|X=x]=saya=1xE[saya{YsayaYn+1}|X=x]
=saya=1xE[saya{YsayaYn+1}]=x2,
di mana kami menggunakan linearitas harapan bersyarat dan independensi dan . Karenanya, XYsaya
E[saya=1Xsaya{YsayaYn+1}]=E[E[saya=1Xsaya{YsayaYn+1}|X]]=E[X2]=n+14.

3

Kami memiliki

E[saya=1Xsaya[YsayaYn+1]]=E[saya=1nsaya[sayaX]saya[YsayaYn+1]]=saya=1nE[saya[sayaX]saya[YsayaYn+1]]=saya=1nE[saya[sayaX]]E[saya[YsayaYn+1]]=saya=1nsayanE[saya[YsayaYn+1]]=saya=1nsayanE[F(Yn+1)]]=saya=1nsayan12=n+14

Langkah kedua mengikuti dari linearitas harapan, langkah ketiga dari independensi dan , dan langkah kelima dari fakta bahwa Untuk membuktikan langkah keenam, Anda dapat menggunakan integrasi parsial . Untuk langkah terakhir, Anda menggunakan rumus untuk jumlah sebagian .XY1,...,Yn+1

F(y)=P(Yy)=E[saya[Yy]].

1
Dari mana asal Anda ? Selama , itu akan selalu benar maka Anda dapat memperbaiki hasil akhir pada nilai yang Anda inginkan. NN>n-1
Daneel Olivaw

3
Jika Anda maksud: Saya setuju dengan jawabannya. N=n
Daneel Olivaw
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.