Kesalahan yang didistribusikan secara normal dan teorema limit pusat

Dalam Econometrics Pengantar Wooldridge ada kutipan:

Argumen yang membenarkan distribusi normal untuk kesalahan biasanya berjalan seperti ini: karena adalah jumlah dari banyak faktor yang tidak teramati yang mempengaruhi , kita dapat menggunakan teorema batas pusat untuk menyimpulkan bahwa memiliki perkiraan distribusi normal.$u$$y$$u$

Kutipan ini berkaitan dengan salah satu asumsi model linier, yaitu:

$u \sim N(μ, σ^2)$

di mana $u$ adalah istilah kesalahan dalam model populasi.

Sekarang, sejauh yang saya tahu, Central Limit Theorem menyatakan bahwa distribusi

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(di mana $\overline{Y_i}$ adalah rata-rata sampel acak yang diambil dari populasi mana pun dengan mean $μ$ dan varians $σ^2$ )

mendekati variabel normal standar sebagai $n \rightarrow \infty$ .

Pertanyaan:

Bantu saya memahami bagaimana normalitas asimptotik $Z_i$ menyiratkan $u \sim N(μ, σ^2)$

Ini mungkin lebih dihargai dengan mengungkapkan hasil CLT dalam hal jumlah variabel acak iid. Kita punya

$$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$$

Lipat gandakan hasil bagi dengan dan gunakan fakta bahwa untuk mendapatkan$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$Var(cX) = c^2 Var(X)$

$$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Sekarang tambahkan ke LHS dan gunakan fakta bahwa untuk mendapatkan$\mu$$\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Terakhir, kalikan dengan dan gunakan dua hasil di atas untuk melihat itu$n$

$$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$$

Dan apa hubungannya ini dengan pernyataan Wooldridge? Nah, jika kesalahan adalah jumlah dari banyak variabel acak iid maka itu akan terdistribusi secara normal, seperti yang baru saja terlihat. Tetapi ada masalah di sini, yaitu bahwa faktor-faktor yang tidak teramati tidak akan terdistribusi secara identik dan mereka bahkan mungkin tidak independen!

Namun demikian, CLT telah berhasil diperluas ke variabel acak independen yang tidak terdistribusi dan bahkan kasus ketergantungan ringan, dalam beberapa kondisi keteraturan tambahan. Ini pada dasarnya adalah kondisi yang menjamin bahwa tidak ada istilah dalam jumlah memberikan pengaruh yang tidak proporsional pada distribusi asimptotik, lihat juga halaman wikipedia di CLT . Anda tentu tidak perlu tahu hasil ini; Tujuan Wooldridge hanyalah untuk memberikan intuisi.

Semoga ini membantu.