Rerata geometrik adalah pengestimasi tidak bias dari rerata distribusi berkelanjutan mana?

Adakah distribusi kontinu yang dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup, yang rerata sedemikian rupa sehingga rerata geometris sampel merupakan penaksir yang tidak bias untuk rerata itu?

Pembaruan: Saya baru menyadari bahwa sampel saya harus positif (atau rata-rata geometris mungkin tidak ada) jadi mungkin terus menerus bukan kata yang tepat. Bagaimana dengan distribusi yang nol untuk nilai negatif dari variabel acak dan kontinu untuk nilai positif. Sesuatu seperti distribusi terpotong.

distributions geometric-mean

— pengguna53608
sumber

Distribusi dapat kontinu sambil memiliki ruang sampel yang benar-benar positif (misalnya distribusi gamma).

— gammer

Juga maksud Anda contoh di mana rata-rata geometrik dari sampel adalah penaksir tidak bias dari momen pertama? Saya hanya pernah melihat rata-rata geometrik dari set data diskrit yang didefinisikan dan tidak pasti bagaimana rata-rata geometrik "benar" (yaitu tingkat populasi) akan didefinisikan untuk distribusi kontinu ... Mungkin

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$

— gammer

Ini berfungsi untuk distribusi lognormal.

— Michael R. Chernick

Itu berlaku jika variabel acak

sama dengan beberapa konstanta skalar positif

hampir pasti . Tidak sebaliknya.

X

$X$

c

$c$

— Matthew Gunn

Jawaban:

Saya percaya Anda bertanya apa, jika ada, distribusi rv , sehingga, jika kita memiliki sampel iid ukuran dari distribusi itu, itu akan berpendapat bahwa $X$ $n>1$

E [G M] = E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

Karena asumsi iid , kami punya

E [{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n}] = E (X_{1}^{1 / n} \cdot . . . \cdot X_{n}^{1 / n}) = E (X_{1}^{1 / n}) \cdot . . . \cdot E (X_{n}^{1 / n}) = {[E (X^{1 / n})]}^{n}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

jadi kami bertanya apakah kami bisa

{[E (X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Tetapi oleh ketidaksetaraan Jensen, dan fakta bahwa fungsi kekuasaan secara ketat cembung untuk kekuatan yang lebih tinggi dari kesatuan, kita memiliki itu, hampir pasti untuk variabel acak yang tidak merosot (tidak konstan),

{[E (X^{1 / n})]}^{n} < E {[(X^{1 / n})]}^{n} = E (X)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Jadi tidak ada distribusi seperti itu.

$GM$

E (X^{s}) = \exp {s μ + \frac{s^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

$\mu$ $\sigma$

$s = 1/n$

E (G M) = {[E (X^{1 / n})]}^{n} = {[\exp {(μ / n) + \frac{σ^{2}}{2 n^{2}}}]}^{n} = \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

(yang memberitahu kita bahwa itu adalah penaksir yang bias dari median). Tapi

lim {[E (X^{1 / n})]}^{n} = lim \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}} = e^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

yang merupakan median dari distribusi. Satu juga dapat menunjukkan bahwa varians dari rata-rata geometris dari sampel konvergen ke nol, dan kedua kondisi ini cukup untuk penaksir ini konsisten secara asimptotik - untuk median,

G M \to_{p} e^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

— Alecos Papadopoulos
sumber

X

$X$

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

Ini adalah argumen yang mirip dengan jawaban Alecos yang sangat baik karena rata-rata aritmatika, ketidaksetaraan rata-rata geometris adalah konsekuensi dari ketidaksetaraan Jensen.

$A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
$G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

$A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

Dalam beberapa hal, ini adalah kasus yang sepenuhnya merosot.

$P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

$G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

— Matthew Gunn
sumber

Rerata geometrik adalah pengestimasi tidak bias dari rerata distribusi berkelanjutan mana?

X1=X2=…=XnX1=X2=…=XnX_1 = X_2 = \ldots = X_n

P(Xi≠Xj)>0P(Xi≠Xj)>0P(X_i \neq X_j) > 0i≠ji≠ji\neq j

$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$