Jumlah variabel acak eksponensial mengikuti Gamma, dikacaukan oleh parameter

Saya telah belajar jumlah variabel acak eksponensial mengikuti distribusi Gamma.

Tetapi di mana-mana saya membaca parametrization berbeda. Misalnya, Wiki menggambarkan hubungan tersebut, tetapi jangan mengatakan apa arti parameter mereka sebenarnya? Bentuk, skala, nilai, 1 / tingkat?

Distribusi eksponensial: $x$ ~ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

Distribusi gamma: $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

Dalam pengaturan ini, apa yang ? Akan seperti apa parametrization yang benar? Bagaimana kalau memperpanjang ini ke chi-square? $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$

distributions probability gamma-distribution

— edwin
sumber

Sebagai aturan praktis yang siap pakai, probabilis cenderung menggunakan

untuk menunjukkan distribusi Gamma dengan rata-rata

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$

(yaitu,

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$

sedangkan ahli statistik cenderung menggunakan

untuk menunjukkan variabel acak Gamma dengan rata-rata

, bukan

cara Anda memilikinya. Wikipediamenggambarkan kedua konvensi.

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

— Dilip Sarwate

maaf kamu benar

— edwin

Dua petunjuk: 1. ingat untuk memeriksa dengan konsistensi dimensi. (mis. apakah parameter memiliki dimensi

, atau timbal baliknya ...?) 2. karena di sini parameter gamma adalah bilangan bulat, mungkin akan sedikit lebih mudah untuk menggunakan faktorial polos, dan distribusi Erlang (dari tentu saja, itu sama)

x

$x$

— leonbloy

@edwin Jadi harap edit pertanyaan Anda untuk mengoreksi ekspresi untuk mean dan varians.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate diedit!

— edwin

Jawaban:

Jumlah variabel acak Gamma independen adalah variabel acak Gamma . Tidak masalah apa arti parameter kedua (skala atau kebalikan skala) selama semua variabel acak memiliki parameter kedua yang sama . Ide ini meluas mudah untuk variabel acak yang merupakan kasus khusus dari variabel acak Gamma. $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— Dilip Sarwate
sumber

Hal yang membingungkan saya adalah beberapa buku menulis

di mana

adalah tingkat, sementara yang lain berarti 1 / rate. Apakah ada notasi yang konsisten? Kecuali saya melihat pdf, saya tidak akan tahu apa artinya.

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

— edwin

Jika Anda berpikir itu membingungkan, tunggu sampai Anda menemukan variabel acak normal. Ada setidaknya tiga interpretasi yang berbeda dari

yang ahli statistik menggunakan.

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

— Dilip Sarwate

lol, itu hanya menghancurkan jiwa-jiwa tak berdosa yang ingin mempelajari subjeknya. Saya pribadi berpikir itu hanya ditulis dengan buruk pada bagian penulis, pada saat yang sama, saya setuju bahwa saya perlu menyesuaikan kemampuan untuk menemukan hal-hal yang salah. Tapi tetap saja, tidak ketika saya mengambil langkah kecil.

— edwin

Oh well, sebagai penulis Jawaban atas Pertanyaan lain, saya kecewa Anda berpikir bahwa Jawaban itu ditulis dengan buruk. Saran untuk memperbaikinya sangat disambut.

— Dilip Sarwate

Saya tidak merujuk ke tautan Anda.

— edwin

Jumlah dari distribusi eksponensial iid dengan skala (laju ) didistribusikan dengan gamma dengan bentuk dan skala (laju ). $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— Neil G
sumber

distribusi gamma dibuat dari distribusi eksponensial yang merupakan distribusi eksponensial adalah dasar untuk distribusi gamma. maka jika kita memiliki , selama semua bersifat independen. $f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— hasanmisaii
sumber

Saya memformat bagian matematika dari jawaban Anda. Silakan periksa apakah ini yang ingin Anda ungkapkan.

— Andy

Pernyataan Anda

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

x_{i}

$x_i$