Saya tidak mengerti perbedaan dari binomial

Saya merasa sangat bodoh bahkan mengajukan pertanyaan mendasar seperti itu tetapi begini:

Jika saya memiliki variabel acak yang dapat mengambil nilai dan , dengan dan , maka jika saya menarik sampel dari itu, saya akan mendapatkan distribusi binomial. $X$ $0$ $1$ $P(X=1) = p$ $P(X=0) = 1-p$ $n$

Mean dari distribusi adalah

$\mu = np = E(X)$

Varian dari distribusi adalah

$\sigma^2 = np(1-p)$

Di sinilah masalah saya dimulai:

Varians didefinisikan oleh . Karena kuadrat dari dua kemungkinan hasil tidak mengubah apa pun ( dan ), itu berarti , sehingga itu berarti $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ $X$ $0^2 = 0$ $1^2 = 1$ $E(X^2) = E(X)$

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

Kemana perginya ekstra ? Seperti yang Anda mungkin tahu saya tidak terlalu baik dalam statistik jadi tolong jangan gunakan terminologi yang rumit: s $n$

variance binomial

— lelah
sumber

Jika dan ini independen maka . Tetapi rute yang bahkan lebih mudah adalah jadi demikian dengan independen

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— Henry

Jawaban:

Variabel acak mengambil nilai dan dengan probabilitas dan disebut variabel acak Bernoulli dengan parameter . Variabel acak ini memiliki Misalkan Anda memiliki sampel acak dengan ukuran dari , dan mendefinisikan variabel acak baru , maka distribusi disebut Binomial, yang parameternya adalah $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$

Y

$Y$

n

$n$ dan . Mean dan varians dari variabel acak Binomial Y diberikan oleh

p

$p$

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— LVRao
sumber

Bagaimana ini menjawab pertanyaan, yaitu "Ke mana perginya tambahan?"

— Amuba kata Reinstate Monica

@amoeba Terima kasih banyak atas komentar Anda. Karena OP tidak dapat membedakan antara variabel acak Bernoulli dan Binomial, saya berpikir untuk mengingatkannya tentang definisi yang diperlukan dan proses untuk mendapatkan ekspresi yang diperlukan.

— LVRao

Saya hanya mengatakan bahwa jawaban Anda akan (menurut saya) meningkat jika Anda secara eksplisit menunjukkan kesalahan dalam alasan OP. Jawaban Anda mendapatkan rumus yang benar, tetapi tidak menunjukkan di mana kesalahan OP.

— Amuba kata Reinstate Monica

@amoeba Benar. Memberi arahan, membuat mereka memperbaiki diri sendiri juga terkadang membantu.

— LVRao

Dua kesalahan dalam proses pembuktian Anda:

1: pada paragraf pertama memiliki definisi yang berbeda dengan dalam sisa artikel. $X$ $X$

2: Dengan syarat ~ , . Cobalah untuk bekerja dari $X$ $Bin(p, n)$ $E(X^2) \ne E(X)$ $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— pengguna158565
sumber

Jika Anda suka membuat mata Anda berdarah, saya menyalin banyak catatan saya dari sekolah pascasarjana. Tautan khusus ini menunjukkan derivasi dari E (X) dan E (X ^ 2) nutterb.github.io/ItCanBeShown/…

— Benjamin