Menghasilkan variabel acak binomial berkorelasi

Saya bertanya-tanya apakah mungkin untuk menghasilkan variabel binomial acak berkorelasi mengikuti pendekatan transformasi linier?

Di bawah ini, saya mencoba sesuatu yang sederhana dalam R dan menghasilkan beberapa korelasi. Tapi saya bertanya-tanya apakah ada cara berprinsip untuk melakukan ini?

X1 = rbinom(1e4, 6, .5) ; X2 = rbinom(1e4, 6, .5) ;  X3 = rbinom(1e4, 6, .5) ; a = .5

Y1 = X1 + (a*X2) ; Y2 = X2 + (a*X3) ## Y1 and Y2 are supposed to be correlated

cor(Y1, Y2)

— rnorouzian
sumber

Y_{1}

$Y_1$ dan

Y_{2}

$Y_2$ mungkin berkorelasi, tetapi mereka tidak lagi Binomial. Contoh,

X_{1} = X_{2} = 1

$X_1 = X_2 = 1$ maka

Y_{1} = 1.5

$Y_1 = 1.5$ maka

Y_{i}

$Y_i$ tidak bisa menjadi variabel acak Binomial. Saya sarankan Anda melihat distribusi Multinomial.

— Knrumsey

Jawaban singkat untuk pertanyaan adalah mencari kata kunci copula, yang membantu dalam menghasilkan variabel dependen dengan margin tetap.

— Xi'an

Variabel binomial biasanya dibuat dengan menjumlahkan variabel Bernoulli independen. Mari kita lihat apakah kita bisa mulai dengan sepasang variabel Bernoulli yang berkorelasi dan melakukan hal yang sama. $(X,Y)$

Misalkan adalah variabel Bernoulli (yaitu, dan $X$ $(p)$ $\Pr(X=1)=p$ ) dan adalahvariabelBernoulli . Untuk menjabarkan distribusi bersama mereka, kita perlu menentukan keempat kombinasi hasil. Penulisan $\Pr(X=0)=1-p$ $Y$ $(q)$ kita dapat dengan mudah mengetahui sisanya dari aksioma probabilitas:

Pr ((X, Y) = (0, 0)) = a,

$\Pr((X,Y)=(0,0))=a,$

Pr ((X, Y) = (1, 0)) = 1 - q - Sebuah, Pr ((X, Y) = (0, 1)) = 1 - hal - Sebuah, Pr ((X, Y) = (1, 1)) = Sebuah + hal + q - 1.

$\Pr((X,Y)=(1,0))=1-q-a, \\\Pr((X,Y)=(0,1))=1-p-a, \\\Pr((X,Y)=(1,1))=a+p+q-1.$

Memasukkan ini ke dalam rumus untuk koefisien korelasi dan penyelesaiannya memberikan $\rho$

\begin{matrix} (1) & a = (1 - p) (1 - q) + ρ \sqrt{p q (1 - p) (1 - q)} . \end{matrix}

$a = (1-p)(1-q) + \rho\sqrt{{pq}{(1-p)(1-q)}}.\tag{1}$

Asalkan keempat probabilitas non-negatif, ini akan memberikan distribusi gabungan yang valid - dan solusi ini membuat parameter semua distribusi Bernoulli bivariat. (Ketika , ada solusi untuk semua korelasi yang bermakna secara matematis antara dan ) Ketika kita menjumlahkan dari variabel-variabel ini, korelasinya tetap sama - tetapi sekarang distribusi marjinal adalah Binomial dan Binomial , seperti yang diinginkan. $p=q$ $-1$ $1$ $n$ $(n,p)$ $(n,q)$

Contoh

Biarkan , , , dan kami ingin korelasi menjadi $n=10$ $p=1/3$ $q=3/4$ $\rho=-4/5$ $(1)$ $a=0.00336735$ $0.247$ $0.663$ $0.087$ $1000$

Garis merah menunjukkan rata-rata sampel dan garis putus-putus adalah garis regresi. Mereka semua dekat dengan nilai yang dimaksudkan. Poin-poin telah dikelompokkan secara acak dalam gambar ini untuk menyelesaikan tumpang tindih: setelah semua, distribusi Binomial hanya menghasilkan nilai-nilai integral, sehingga akan ada banyak overplotting.

$n$ $\{1,2,3,4\}$ $1$ $(0,0)$ $2$ $(1,0)$ $3$ $(0,1)$ $4$ $(1,1)$ $(X,Y)$

Kode

Berikut ini adalah Rimplementasinya.

#
# Compute Pr(0,0) from rho, p=Pr(X=1), and q=Pr(Y=1).
#
a <- function(rho, p, q) {
  rho * sqrt(p*q*(1-p)*(1-q)) + (1-p)*(1-q)
}
#
# Specify the parameters.
#
n <- 10
p <- 1/3
q <- 3/4
rho <- -4/5
#
# Compute the four probabilities for the joint distribution.
#
a.0 <- a(rho, p, q)
prob <- c(`(0,0)`=a.0, `(1,0)`=1-q-a.0, `(0,1)`=1-p-a.0, `(1,1)`=a.0+p+q-1)
if (min(prob) < 0) {
  print(prob)
  stop("Error: a probability is negative.")
}
#
# Illustrate generation of correlated Binomial variables.
#
set.seed(17)
n.sim <- 1000
u <- sample.int(4, n.sim * n, replace=TRUE, prob=prob)
y <- floor((u-1)/2)
x <- 1 - u %% 2
x <- colSums(matrix(x, nrow=n)) # Sum in groups of `n`
y <- colSums(matrix(y, nrow=n)) # Sum in groups of `n`
#
# Plot the empirical bivariate distribution.
#
plot(x+rnorm(length(x), sd=1/8), y+rnorm(length(y), sd=1/8),
     pch=19, cex=1/2, col="#00000010",
     xlab="X", ylab="Y",
     main=paste("Correlation is", signif(cor(x,y), 3)))
abline(v=mean(x), h=mean(y), col="Red")
abline(lm(y ~ x), lwd=2, lty=3)

— whuber
sumber

Bisakah pendekatan ini diperluas untuk menghasilkan sejumlah variabel biner? - agar sesuai dengan matriks korelasi yang diberikan (atau hampir pas untuk itu)?

— ttnphns

2^{k}

$2^k$

k

$k$

2^{k} - k - 1

$2^k-k-1$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

Ini hasil yang bagus. Hanya untuk memilih sedikit pada kalimat pertama Anda. Untuk mendapatkan binomial dari variabel independen Bernoulli, bukankah mereka harus memiliki p yang sama? Ini tidak berpengaruh pada apa yang Anda lakukan karena itu hanya motivasi untuk pendekatan Anda.

— Michael R. Chernick

p

$p$

X

$X$

q

$q$

Y

$Y$ variabelUntuk menjaga agar posnya cukup singkat, saya tidak menampilkan histogram distribusi marjinal untuk menunjukkan bahwa mereka memang Binomial (tapi saya benar-benar melakukannya dalam analisis asli saya hanya untuk memastikan mereka berfungsi!).

— whuber

@whuber Pendekatan yang bagus! Bisakah Anda memberi tahu saya jika ada kertas yang bisa saya lihat ??

— T Nick