Kelas distribusi ditutup maksimum

Membiarkan $Q_p$ menjadi kelas distribusi probabilitas pada real non-negatif yang ditentukan oleh $p$ , maka

Q_{p} ([0, \infty)) = 1.

$Q_p([0,\infty)) = 1.$ Saya ingin tahu kelas distribusi mana yang ditutup untuk mengambil maksimum dan, yaitu jika

X_{1} \sim Q_{p_{1}}

$X_1\sim Q_{p_1}$ dan

X_{2} \sim Q_{p_{2}}

$X_2\sim Q_{p_2}$ independen kemudian

max (X_{1}, X_{2}) \sim Q_{p_{3}}

$\max(X_1,X_2)\sim Q_{p_3}$ .

distributions

— Ilya
sumber

Apakah Anda mencari karakterisasi matematis dari kelas-kelas semacam itu atau Anda bertanya tentang keluarga distribusi parametrik mana yang mungkin memiliki properti ini?

— Whuber

stat.lsa.umich.edu/~sstoev/talks/BU_talk_07.pdf , hal. 3

— whuber

@whuber Ketiga tipe nilai ekstrim bekerja dengan argumen yang saya berikan di bawah ini. Saya tidak menunjukkan bahwa mereka adalah satu-satunya.

— Michael R. Chernick

Powerpoint dari Stoev yang dikutip whuber menunjukkan hasil yang telah saya berikan untuk distribusi ini yang akan digambarkan yang disebut maxi-stable dan teorema yang dikutip dalam presentasi selanjutnya menyatakan bahwa mereka adalah satu-satunya.

— Michael R. Chernick

@Michael Apakah Anda memperhatikan batasan nilai-nilai non-negatif dalam pertanyaan? Itu mengesampingkan distribusi nilai ekstrim yang memiliki dukungan positif pada real negatif.

— Whuber

Jawaban:

Sepertinya saya yang mengusulkan distribusi nilai ekstrem benar-benar menjawab pertanyaan yang berbeda. Saya akan menunjukkan bahwa dengan menjawab pertanyaan ini secara langsung dan menunjukkannya mengarah ke distribusi yang tidak termasuk dalam tipe nilai ekstrem.

Mari kita pertimbangkan ini dari prinsip pertama. Secara langsung, dari aksioma probabilitas dan definisi CDF, bahwa distribusi maksimum dua variabel acak independen dengan dan memiliki untuk CDF-nya. Misalkan ada kelas distribusi ada yang ditutup di bawah maksimum berpasangan; itu adalah, $F_1$ $F_2$ $F_1 F_2$ $\Omega = \{F_{\theta}\}$

F_{θ} \in Ω, F_{ϕ} \in Ω implies F_{θ} F_{ϕ} \in Ω .

$F_\theta \in \Omega, \ F_\phi \in \Omega \text{ implies } F_\theta F_\phi \in \Omega.$

Lebih mudah untuk mengambil logaritma, memperluas (seperti dalam teks analisis lanjutan Rudin) bilangan real untuk menyertakan sebagai log . Log CDF dari variabel acak yang pada dasarnya didukung pada adalah (i) tidak meningkat secara mononotik, (ii) sama dengan on , (iii) memiliki batas kanan , dan ( iv) adalah cadlag. Dari sudut pandang ini, harus menjadi subset cembung dari kerucut dalam ruang fungsi cadlag di . Agar parameternya dapat halus, kerucut itu harus menghasilkan subruang vektor dimensi-terbatas. Itu masih menyisakan banyak kemungkinan. $-\infty$ $0$ $[0,\infty)$ $-\infty$ $(-\infty,0)$ $0$ $\Omega$ $\mathbb{R}$

Beberapa kemungkinan ini diketahui dengan baik. Pertimbangkan, misalnya, CDF dari variabel seragam pada . CDF-nya sama dengan pada , saat , dan pada . Kerucut yang dihasilkannya adalah himpunan CDF dari formulir $[0,1]$ $0$ $(-\infty,0]$ $x$ $0 \le x \le 1$ $1$ $[1,\infty)$

F_{θ} (x) = \exp (θ \log (x)) = x^{θ}, 0 < x < 1

$F_\theta(x) = \exp(\theta \log(x)) = x^\theta,\quad 0 \lt x \lt 1$

diparameterisasi oleh . Jelas maksimum dari setiap dua variabel acak independen dengan distribusi dalam keluarga ini juga memiliki distribusi dalam keluarga ini (parameternya hanya ditambahkan). Kami dapat, jika kami mau, membatasi ke bagian cembung dari formulir dan masih memiliki keluarga yang ditutup maksimal. Perhatikan, tolong, bahwa tidak ada anggota keluarga ini yang memiliki distribusi nilai ekstrem. $\theta \gt 0$ $\{F_\theta | \theta \ge \theta_0\}$

Formulasi ini mencakup distribusi diskrit (yang jelas bukan di antara tiga jenis distribusi nilai ekstrim). Sebagai contoh, perhatikan distribusi yang didukung pada bilangan asli mana probabilitas diberikan oleh $0, 1, 2, \ldots, k, \ldots$

{Pr}_{θ} (k) = θ^{1 / (k + 1)} - θ^{1 / k}

${\Pr}_\theta(k) = \theta^{1/(k+1)} - \theta^{1/k}$

(mengambil ketika ), diparameterisasi oleh . Dengan konstruksi, CDF , dari mana ia mengikuti $\theta^{1/k}=0$ $k=0$ $0 \lt \theta \lt 1$ $F_\theta(k) = \theta^{1/(k+1)}$

F_{θ} (k) F_{ϕ} (k) = θ^{1 / (k + 1)} ϕ^{1 / (k + 1)} = (θ ϕ)^{1 / (k + 1)},

$F_\theta(k) F_\phi(k) = \theta^{1/(k+1)}\phi^{1/(k+1)} = (\theta\phi)^{1/(k+1)},$

dan karena asumsi menyiratkan , ini menunjukkan keluarga ditutup di bawah maxima berpasangan. $0 \lt \theta\phi \lt 1$

Saya berharap bahwa analisis ini dan dua contoh ini menunjukkan bahwa, bertentangan dengan pendapat yang diungkapkan dalam komentar, pendekatan dimulai dengan jumlah CDF yang dipilih dengan baik terbatas dan menutupnya sehubungan dengan maksimum berpasangan (yaitu, membentuk kerucut mereka dalam ruang vektor terkait yang sesuai) tidak hanya konstruktif tetapi juga menghasilkan kelas distribusi yang menarik dan berpotensi bermanfaat.

— whuber
sumber

+1 untuk analisis ini dan memeriksa interpretasi distribusi nilai ekstrem.

@whuber: terima kasih banyak atas perhatiannya untuk masalah ini, saya benar-benar tidak mengharapkan begitu banyak jawaban yang bagus (dan saya akan menyapa semua orang yang menjawab). Konstruksi kerucut (atau, semi-grup) yang Anda berikan memang benar: jika adalah keluarga distribusi apa pun, maka penutupannya (wrt ) memiliki setiap elemen bentuk di mana dan . Sayangnya, saya menyadari bahwa closure wrt shift juga diperlukan (yaitu jika maka ). Haruskah saya mengajukan pertanyaan baru untuk ini?

F_{θ}

$F_\theta$

max

$\max$

(F_{θ_{1}}^{α_{1}} \times \dots \times F_{θ_{n}}^{α_{n}})

$(F_{\theta_1}^{\alpha_1}\times\dots\times F_{\theta_n}^{\alpha_n})$

α_{i} \geq 0

$\alpha_i\geq 0$

n \in N

$n\in\mathbb N$

F (x) \in Ω

$F(x)\in \Omega$

F (x - a) \in Ω

$F(x-a)\in \Omega$

— Ilya

Itu tentu menyulitkan, Ilya. Tetapi sebelum Anda mengubah apa pun atau memposting pertanyaan baru, harap pertimbangkan bagaimana Anda akan mencocokkan persyaratan penutupan shift dengan persyaratan (yang tampaknya bertentangan) bahwa semua variabel memiliki dukungan non-negatif! (Saya kira Anda perlu membatasi nilai yang mungkin dari .)

a

$a$

— Whuber

Tidak terkait dengan pertanyaan ini, tetapi mencari contoh keluarga stabil di bawah produk.

— Vincent Granville

@Vincent Untuk memulai, pertimbangkan keluarga variabel acak tertutup dan tambahkan apa pun. Untuk keluarga yang lebih kaya, gandakan salah satu variabel tersebut dengan variabel Rademacher independen (mendapatkan variabel yang didukung pada seluruh garis nyata daripada hanya angka positif).

U

$U$

— whuber

Catatan: Jawaban ini mengasumsikan variabel terdistribusi secara identik , tidak hanya didistribusikan menurut kelas yang sama.

Itu akan menjadi distribusi nilai ekstrem . Ada tiga dari mereka, seperti yang biasanya disajikan, sesuai dengan tiga set kondisi pada distribusi yang mendasari di mana distribusi pembatas maksimum ditemukan. Mereka ditutup di bawah menemukan maksimum, yang adalah apa yang Anda inginkan.

Menyalin lebih atau kurang dari versi lama Metode Analisis Statistik untuk Keandalan dan Data Kehidupan (Mann, Schafer, Singpurwalla),

Tipe I: $F_{X(n)}(x) = \exp\left\{-\exp \left[-\frac{x-\gamma}{\alpha}\right] \right\},\space -\infty < x < \infty, \space \alpha > 0$

Tipe II: $F_{X(n)}(x) = \exp\left\{-\left(\frac{x-\gamma}{\alpha}\right)^{-\beta}\right\}, \space x \geq \gamma, \space \alpha,\beta > 0$

Tipe III: $F_{X(n)}(x) = \exp\left\{-\left[-\left(\frac{x-\gamma}{\alpha}\right)^\beta\right]\right\}. \space x \leq \gamma, \space \alpha,\beta > 0$

Sunting: Baca komentar, yang memperluas jawaban ini untuk membuat jawaban yang lebih baik dan lebih lengkap untuk pertanyaan ini!

— Jbowman
sumber

+1 Namun Tipe I dan III tidak berlaku untuk pertanyaan.

— whuber

Cukup benar (+1), saya menjawab pertanyaan yang lebih umum tanpa menjelaskan perbedaannya. Juga, saya harus menggambarkan normalisasi yang harus terjadi untuk mencegah degenerasi, seperti yang Anda lakukan dalam komentar Anda terhadap jawaban MC di bawah ini. Ajari saya untuk menulis jawaban ini ketika saya akan menuju keluar pintu! (yah, mungkin tidak ... :)

— jbowman

@whuber Saya mungkin meminta sesuatu yang jelas tetapi, apakah benar jika dan dan mereka independen, maka ?

X_{1} \sim F r e c h e t (α_{1}, β_{1})

$X_1\sim Frechet(\alpha_1,\beta_1)$

X_{2} \sim F r e c h e t (α_{2}, β_{2})

$X_2\sim Frechet(\alpha_2,\beta_2)$

m a x (X_{1}, X_{2}) \sim F r e c h e t (α_{3}, β_{3})

$max(X_1,X_2)\sim Frechet(\alpha_3,\beta_3)$

Itu pertanyaan yang bagus, @Prastrastator. Saya tidak bisa memikirkan alasan mengapa hasil seperti itu harus benar, jadi saya mensimulasikan 1.000.000 nilai id dari Frechet dan 1.000.000 nilai id dari Frechet dan menghitung maxima berpasangan mereka. Hasilnya tidak bisa pas - bahkan tidak kurang - oleh distribusi Frechet . Anda memerlukan ketiga parameter (termasuk parameter lokasi) untuk menutup keluarga ini di bawah maksimum. Kemudian - meniru argumen (tidak lengkap) dalam jawaban Michael Chernick - Anda dapat menunjukkan harus digeser Frechet yang diskalakan.

(3, 1)

$(3,1)$

(10, 1)

$(10,1)$

(α, β)

$(\alpha,\beta)$

max (X_{1}, X_{2})

$\max(X_1,X_2)$

— Whuber

Jawaban ini salah. Teorema nilai ekstrim berlaku ketika distribusi variabel identik , tetapi pertanyaannya mengatakan mereka hanya harus milik kelas yang sama (mereka mungkin memiliki parameter yang berbeda).

— user76284

jbowman mengalahkan saya untuk jawabannya. Penjelasan mengapa mereka bekerja adalah bahwa Teorema Gnedenko menyatakan bahwa jika adalah urutan variabel acak independen yang terdistribusi secara identik, dalam kondisi tertentu pada bagian ekor distribusi konvergen ke 1 dari tiga jenis yang terdaftar jbowman dalam jawabannya. Sekarang karena semua tipe I, tipe II atau tipe III distribusi dapat dinyatakan sebagai batas maks dari urutan iid maka jika adalah mengatakan tipe I dan merupakan batas distribusi karena cenderung tak terhingga dan juga tipe I dan merupakan batas $X_1,\dotsc,X_n$ $n$ $M_n=\max(X_1, X_2,\dotsc,X_n)$ $G_1$ $M_n=\max(X_1, X_2,\dotsc,X_n)$ $n$ $G_2$ $N_n=\max(Y_1,Y_2,dotsc,Y_n)$ lalu katakan dan adalah distribusi batas ketika mendekati tak terhingga untuk maka akan menjadi tipe I dan menjadi distribusi untuk maksimum rv dengan distribusi dan yang lain dengan distribusi dan karenanya tipe I ditutup di bawah maksimalisasi. Argumen yang sama berfungsi untuk tipe II dan tipe III. $V_n=\max(M_n,N_n)$ $G_3$ $n$ $V_n$ $G_3$ $G_1$ $G_2$

— Michael R. Chernick
sumber

Untuk distribusi tidak terbatas, maksimum tidak konvergen: itu berbeda dengan . Seperti halnya CLT, diperlukan normalisasi yang sesuai. (Inilah sebabnya mengapa penting untuk memasukkan parameter lokasi dan skala dalam keluarga-keluarga ini.) Makalah klasik Gnedenko tentang hal ini dimulai (jika saya ingat dengan benar) dengan menanyakan apakah serangkaian koefisien affine dapat ditemukan sedemikian sehingga konvergen. Setelah menetapkan ini, ia kemudian memperoleh kemungkinan bentuk distribusi terbatas.

n

$n$

a_{n}, b_{n}

$a_n, b_n$

a M_{n} + b_{n}

$a M_n + b_n$

— Whuber

Dalam semua kasus saya seharusnya mengatakan dinormalisasi dengan tepat. Terima kasih. Bahkan dalam kasus terbatas Anda harus menormalkan untuk mendapatkan batas (saya pikir, saya harus ingat ini, disertasi saya ekstrem! Tapi 34 tahun yang lalu)

— Michael R. Chernick

Perhatikan juga bahwa distribusi nilai ekstrem tidak secara menyeluruh menjawab pertanyaan. (Ini bukan kritik, itu hanya pengamatan.) Misalnya, membatasi

p

$p$ ke bilangan asli yang bisa kita definisikan

Q_{p}

$Q_p$ menjadi distribusi seragam pada

[p, p + 1]

$[p,p+1]$ . Kelas ini ditutup di bawah maksimum ( ), tetapi tidak ada anggota yang merupakan distribusi nilai ekstrem.

max (Q_{p}, Q_{r}) \sim Q_{max (p, r)}

$\max(Q_p, Q_r) \sim Q_{\max(p,r)}$

— whuber

@whuber ketiga tipe adalah case tidak terikat tetapi tipe III tailed pendek termasuk case terikat seperti distribusi seragam. Untuk U [0,1], P [Mn <= 1-x / n] menyatu dengan exp (-x) karena P [Mn <= 1-x / n] = (1-x / n) ^ n.

— Michael R. Chernick

Balasan Anda tampaknya tidak relevan dalam contoh yang saya berikan, Michael. Perbedaannya adalah bahwa pertanyaan ini tidak menanyakan tentang urutan variabel iid yang dapat dihitung atau bahkan urutan apa pun yang dapat dihitung; hanya bertanya tentang penutupan di bawah pasangan variabel yang biasanya memiliki distribusi yang berbeda . (Tapi sekarang saya melihat ada kesalahan dalam contoh saya: maksimum ketika tidak lagi seragam, jadi saya harus memperbesar keluarga dengan tepat untuk memasukkan maxima dari banyak seragam iid.)

p = r

$p=r$

— whuber