Mengapa dalam kotak latin baris, perawatan dan kolom dikatakan orthogonal

Saya selalu mendengar "orthogonal" di bidang geometri (juga harap dicatat saya bukan penutur asli bahasa Inggris). Saya tidak mengerti yang berikut ini untuk kotak latin (kutipan dari buku teks):

Setiap perawatan (ABCD) muncul sekali di setiap baris. Karenanya perawatan dan barisnya orthogonal. ... Baris dan kolom ortogonal untuk perawatan.

$$\begin{matrix}\,&1&2&3&4\\1&A&B&C&D\\2&B&C&D&A\\3&C&D&A&B\\4&D&A&B&C\end{matrix}$$

Apa yang dimaksud dengan ortogonalitas di sini?

apa artinya, atau, apa yang dilakukan alun-alun latin

Ortogonalitas kolom dan baris berarti bahwa efeknya dihapus dari nilai ekspektasi untuk beberapa perlakuan (A, B, C, D).j $i$$j$$k$

Lihat formula (untuk model tanpa efek silang)

$Y_{ijk} = \alpha + c_i + r_j + \beta_k + \epsilon_{ijk}$

yang harapannya untuk tingkat tertentu (A, B, C atau D) menjadi sebagai berikut$k$

$E(Y_{ijk} \vert k) = \alpha + \beta_k$

asalkan pengobatan tidak berkorelasi (ortogonal ke) dengan baris dan kolom.

pengobatan untuk A (dan juga untuk B, C dan D) diuji jumlah kali yang sama di setiap baris dan sehingga Anda dapat menghilangkan (rata-rata keluar) efek baris pada nilai ekspektasi pengobatan A.

ortogonalitas

Saya tidak yakin apakah ini asal mula etimologi tetapi inilah yang saya bayangkan dengan ortogonalitas

Dalam contoh Anda memiliki tes berikut (kolom, baris, perawatan):

1,1,A
1,2,B
1,3,C
1,4,D
2,1,B
2,2,C
2,3,D
2,4,A
3,1,C
3,2,D
3,3,B
3,4,A
4,1,D
4,2,A
4,3,B
4,4,C

jika Anda mengambil ini sebagai matriks dan menghitung maka Anda memperoleh dalam elemen non-diagonal sejumlah produk di mana setiap istilah terjadi jumlah yang sama kali.M T$M$$M^TM$

misalnya produk dari kolom pertama dan ketiga $(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4) \cdot (A,B,C,D,B,C,D,A,C,D,A,B,D,A,B,C) = (1+2+3+4)(A+B+C+D) = 16 \mu_i \mu_j$

dan properti ini dapat dikaitkan dengan ortogonalitas kolom dalam matriks