Mengurai distribusi normal

Apakah ada distribusi hanya positif sehingga perbedaan dari dua sampel independen dari distribusi ini terdistribusi secara normal? Jika demikian, apakah itu memiliki bentuk yang sederhana?

distributions probability

— Martin O'Leary
sumber

Pertanyaan menarik! Distribusi normal adalah dekomposisi yang tak terhingga, artinya Anda selalu dapat menuliskannya sebagai distribusi jumlah dari angka acak variabel acak. Tapi ini bukan pertanyaannya.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

— Xi'an

Jika Anda mendapatkan fungsi menghasilkan momen, pertanyaannya adalah apakah

memungkinkan solusi (dalam

) yang merupakan fungsi penghasil momen dari variabel positif ...

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

— Xi'an

Anda benar, @Dilip: perbedaan setengah normal tidak memiliki distribusi normal. Masalahnya bukan dengan varian perbedaan: bentuk distribusi sangat tidak normal (kurtosisnya terlalu besar).

— Whuber

Meskipun ini jelas, mungkin perlu dicatat bahwa pernyataan itu kira - kira benar. Setelah semua, perbedaan dari

variabel dan

variabel memiliki

distribusi dan, dengan memilih

cukup besar, kita bisa membuat kemungkinan kedua variabel negatif sekecil yang diinginkan.

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

— whuber

Jawaban atas pertanyaannya adalah Tidak, dan itu berasal dari karakterisasi terkenal dari distribusi normal.

Misalkan dan adalah variabel acak independen. Maka begitu juga variabel acak independen dan , dan tentu saja kita dapat menulis sebagai , jumlah dari dua variabel acak independen. Sekarang, menurut teorema yang diduga oleh P. Lévy dan dibuktikan oleh H. Cramér (lihat Feller, Bab XV.8, Theorem 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

Jika dan adalah variabel acak independen dan terdistribusi normal, maka keduanya dan terdistribusi normal. $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

$X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

— Dilip Sarwate
sumber

Saya agak berharap jawabannya adalah ya, tapi terima kasih! Saya tidak memiliki akses mudah ke salinan Feller - apakah mungkin untuk membuat sketsa bukti teorema? Tampaknya sangat berlawanan dengan intuisi.

— Martin O'Leary

Bahkan Feller tidak memasukkan bukti asli yang mengklaim bahwa itu didasarkan pada teori fungsi analitik dan karenanya sangat berbeda dari pendekatannya pada fungsi karakteristik.

— Dilip Sarwate

Saya pikir itu yang terjadi tetapi membuka pintu untuk variabel dependen. Saya mencoba menemukan cara untuk membangun ketergantungan antara 2 normal setengah positif tetapi tidak bisa membuatnya bekerja.

— Michael R. Chernick

Yah, mungkin seseorang harus saya lebih tertarik untuk mencoba menyelesaikannya

— Michael R. Chernick

Saya akan mengajukan pertanyaan ini dan kemudian Anda dapat menguraikan jawaban Anda. Saya tidak cukup mengikuti seperti apa kerapatan sambungan ini dan apakah Anda mengonsumsi Z = | X | - | Y |?

— Michael R. Chernick