Apa definisi distribusi simetris?

Apa definisi distribusi simetris? Seseorang mengatakan kepada saya bahwa variabel acak berasal dari distribusi simetris jika dan hanya jika dan memiliki distribusi yang sama. Tetapi saya pikir definisi ini sebagian benar. Karena saya dapat menyajikan contoh tandingan dan . Jelas, ia memiliki distribusi simetris, tetapi dan memiliki distribusi yang berbeda! Apakah saya benar? Apakah kalian pernah memikirkan pertanyaan ini? Apa definisi yang tepat dari distribusi simetris? $X$ $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry

— shijing SI
sumber

Ketika Anda mengatakan, "distribusi simetris", Anda harus menentukan sehubungan dengan titik simetris. Dalam kasus distribusi normal yang Anda sajikan, simetri diberikan sekitar . Dalam hal ini dan memiliki distribusi yang sama. Dalam hal kepadatan ini dapat dinyatakan sebagai: simetris tentang jika . BTW, adalah sopan santun untuk menerima jawaban ketika Anda puas dengan salah satu dari mereka.

μ

$\mu$

X - μ

$X-\mu$

- (X - μ)

$-(X-\mu)$

f

$f$

μ

$\mu$

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$

Ya, kami sudah memikirkan pertanyaan ini. Simetris umumnya berarti simetris sekitar , dan, untuk mencegah contoh tandingan lebih lanjut, klaim tentang distribusi yang simetris bukanlah sesuatu yang benar tentang fungsi distribusi probabilitas kumulatif . "Counterexample" Anda memiliki simetri tentang titik , bukan tentang titik .

0

$0$

μ \neq 0

$\mu \neq 0$

0

$0$

— Dilip Sarwate

@Dilip Ketika definisi tergantung pada satu cara menggambarkan sesuatu, tetapi definisi itu dapat ditunjukkan sebagai properti intrinsik dari sesuatu itu, maka tidak masuk akal untuk menerapkan definisi tersebut ke bentuk deskripsi yang berbeda . Dalam hal ini, simetri adalah properti dari suatu distribusi , tetapi itu tidak berarti bahwa semua deskripsi dari distribusi itu (termasuk PDF dan CDF) harus "simetris" dengan cara yang sama. Dengan menerapkan simetri PDF ke CDF, komentar Anda membingungkan pertanyaan dan bukannya memperjelasnya.

— whuber

shijing, @Procrastinator telah mengamati bahwa Anda telah mengajukan banyak pertanyaan tanpa menerima jawaban apa pun. Itu menunjukkan bahwa Anda mungkin tidak terbiasa dengan cara kerja situs ini. Untuk menghapus kesalahpahaman, maukah Anda membaca bagian yang relevan dari FAQ kami sampai tuntas ? Hanya perlu beberapa menit dan mengikuti panduannya akan meningkatkan nilai situs kami untuk Anda.

— whuber

@whuber CDF adalah salah satu dari sedikit deskripsi di mana distribusi kata benar-benar terjadi dalam nama, dan saya mencoba untuk mengklarifikasi bahwa properti simetri tidak berlaku untuk CDF.

— Dilip Sarwate

Jawaban:

Secara singkat: simetris ketika dan memiliki distribusi yang sama untuk beberapa bilangan real . $X$ $X$ $2a-X$ $a$ Tapi tiba di ini dengan cara yang sepenuhnya dibenarkan memerlukan beberapa penyimpangan dan generalisasi, karena menimbulkan banyak pertanyaan implisit: mengapa ini definisi "simetris"? Mungkinkah ada jenis simetri lain? Apa hubungan antara distribusi dan simetrinya, dan sebaliknya, apa hubungan antara "simetri" dan distribusi yang mungkin memiliki simetri itu?

Simetri yang dimaksud adalah refleksi dari garis nyata. Semuanya berbentuk

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

untuk beberapa konstanta . $a$

Jadi, anggaplah memiliki simetri ini untuk setidaknya satu . Maka simetri menyiratkan $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

menunjukkan bahwa adalah median dari . Demikian pula, jika memiliki harapan, maka segera mengikuti bahwa . Jadi kita biasanya dapat mudah dijabarkan . Bahkan jika tidak, (dan karena itu simetri itu sendiri) masih ditentukan secara unik (jika ada sama sekali). $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

Untuk melihat ini, mari menjadi sembarang pusat simetri. Kemudian menerapkan kedua simetri kita melihat bahwa adalah invarian di bawah terjemahan . Jika , distribusi harus memiliki periode , yang tidak mungkin karena probabilitas total distribusi periodik adalah atau tidak terbatas. Jadi , menunjukkan bahwa adalah unik. $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

Lebih umum, ketika adalah grup yang bertindak dengan setia di garis nyata (dan dengan perluasan pada semua himpunan borelnya), kita dapat mengatakan bahwa distribusi "simetris" (berkenaan dengan ) ketika $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

untuk semua himpunan terukur dan elemen , di mana menunjukkan gambar bawah aksi . $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

Sebagai contoh, misalkan masih menjadi kelompok pesanan , tetapi sekarang biarkan aksinya adalah mengambil kebalikan dari bilangan real (dan membiarkannya memperbaiki ). Distribusi lognormal standar simetris sehubungan dengan grup ini. Contoh ini dapat dipahami sebagai contoh dari simetri refleksi di mana ekspresi ulang nonlinear dari koordinat telah terjadi. Ini menunjukkan fokus pada transformasi yang menghormati "struktur" garis nyata. Struktur penting untuk probabilitas harus terkait dengan set Borel dan ukuran Lebesgue, yang keduanya dapat didefinisikan dalam hal jarak (Euclidean) antara dua titik. $G$ $2$ $0$

Menurut definisi, peta yang mempertahankan jarak adalah isometri. Telah diketahui (dan mudah, meskipun sedikit terlibat, untuk menunjukkan) bahwa semua isometri dari garis nyata dihasilkan oleh refleksi. Dari mana, ketika dipahami bahwa "simetris" berarti simetris sehubungan dengan beberapa kelompok isometri , kelompok tersebut harus dihasilkan oleh paling banyak satu refleksi dan kita telah melihat bahwa refleksi secara unik ditentukan oleh distribusi simetris apa pun sehubungan dengan itu. Dalam hal ini, analisis sebelumnya adalah lengkap dan membenarkan terminologi distribusi "simetris" yang biasa.

Secara kebetulan, sejumlah contoh multivariat dari distribusi invarian di bawah kelompok isometri diberikan dengan mempertimbangkan distribusi "bola". Ini tidak tetap di bawah semua rotasi (relatif terhadap beberapa pusat tetap). Ini menggeneralisasi kasus satu dimensi: "rotasi" dari garis nyata hanyalah refleksi.

Akhirnya, perlu menunjukkan bahwa konstruksi standar - rata-rata di atas grup - memberikan cara untuk menghasilkan banyak distribusi simetris. Dalam kasus garis nyata, biarkan dihasilkan oleh refleksi tentang titik , sehingga terdiri dari elemen identitas dan refleksi ini, . Biarkan menjadi distribusi apa pun . Tentukan distribusi dengan mengatur $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

untuk semua Borel set . Ini nyata simetris dan mudah untuk memeriksa bahwa itu tetap suatu distribusi (semua probabilitas tetap tidak negatif dan probabilitas total adalah ). $E$ $1$

Gamma

Mengilustrasikan proses rata-rata grup, PDF dari distribusi Gamma yang simetris (berpusat pada ) ditunjukkan dalam emas. Gamma asli berwarna biru dan pantulannya berwarna merah. $a=2$

— whuber
sumber

(+1) Saya ingin menambahkan bahwa, dalam pengaturan multivarian, definisi simetri tidak unik. Dalam buku ini ada 8 kemungkinan definisi distribusi multivariat simetris.

@Prastrastator Saya ingin tahu tentang apa yang Anda maksud dengan "tidak unik." AFAIK, apa pun yang membenarkan nama "simetri" pada akhirnya merujuk pada aksi kelompok pada sebuah spasi. Akan menarik untuk melihat apa jenis tindakan yang menurut para ahli statistik bermanfaat. Karena buku itu sudah tidak dicetak dan tidak tersedia di Web, dapatkah Anda memberikan contoh cepat dari dua jenis simetri yang benar-benar berbeda dalam buku itu?

— whuber

Intuisi Anda benar, ini terkait dengan fitur statistik: Simetri sentral ; Simetri bola untuk semua matriks ortogonal . Saya tidak dapat mengingat sisanya, tetapi saya akan mencoba untuk meminjam buku pada hari ini. Di tautan ini Anda dapat menemukan beberapa di antaranya.

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@Prastrastator Terima kasih. Perhatikan bahwa dua contoh yang Anda tawarkan adalah kedua kasus khusus dari definisi umum yang saya berikan: simetri pusat menghasilkan kelompok isometri dua elemen dan simetri bola juga merupakan subkelompok dari semua isometri. "Simetri elips" dalam tautan adalah simetri bola setelah transformasi afin, dan dengan demikian mencontohkan fenomena yang saya tunjukkan dengan contoh lognormal. "Simetri sudut" kembali membentuk kelompok isometri. "Half-space symmetry" [sic] bukan simetri, tetapi memungkinkan untuk keberangkatan terpisah darinya: itu baru.

— whuber

Jawabannya akan tergantung pada apa yang Anda maksud dengan simetri. Dalam fisika, gagasan simetri adalah fundamental dan telah menjadi sangat umum. Simetri adalah setiap operasi yang membuat sistem tidak berubah. Dalam kasus distribusi probabilitas, ini dapat diterjemahkan ke operasi apa pun yang mengembalikan probabilitas yang sama . $X \to X'$ $P(X) = P(X')$

Dalam contoh sederhana dari contoh pertama Anda mengacu pada simetri refleksi tentang maksimum. Jika distribusinya adalah sinusoidal maka Anda bisa memiliki kondisi , di mana adalah panjang gelombang atau periode. Kemudian dan masih akan cocok dengan definisi simetri yang lebih umum. $X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

— Michael Hoffman
sumber