Apakah distribusi Poisson stabil dan apakah ada rumus inversi untuk MGF?

Pertama, saya punya pertanyaan tentang apakah distribusi Poisson "stabil" atau tidak. Sangat naif (dan saya tidak terlalu yakin tentang distribusi "stabil"), saya mengerjakan distribusi kombinasi linear Poisson yang didistribusikan RV, menggunakan produk MGF. Sepertinya saya mendapatkan Poisson lain, dengan parameter sama dengan kombinasi linear dari parameter RV individu. Jadi saya menyimpulkan bahwa Poisson "stabil". Apa yang saya lewatkan?

Kedua, apakah ada rumus inversi untuk MGF seperti ada untuk fungsi karakteristik?

distributions poisson-distribution mgf

— jujur
sumber

Itu ditutup di bawah jumlah (independen) , tetapi tidak kombinasi linear sewenang-wenang. Jika Anda memasukkan pekerjaan Anda, saya curiga Anda akan melihat mengapa dalam proses; dan, jika tidak, seseorang akan dapat menunjukkannya. Ya, ada beberapa analog inversi dengan fungsi karakteristik. Apa yang Anda ketahui tentang transformasi Laplace dan integrasi kontur Bromwich?

— kardinal

Oke, saya akan kembali ke papan gambar. Saya memiliki MGF dari Poisson ke-i sebagai: exp (lambda_i (exp (t) - 1)). Jadi produk dari n Poisson MGF memberi saya: exp (jumlah (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)) dan saya mengambil lambda baru = jumlah (i, 0, n) alpha_i * lambda_i. Sekarang aku takut aku akan terlihat bodoh karena membuat kesalahan yang jelas. - Saya tahu tentang transformasi Laplace dan integrasi kontur secara umum, tetapi tidak integrasi kontur Bromwish. - Apakah Anda merekomendasikan bekerja dengan CF daripada MGF secara umum? Tampaknya lebih kuat.

— Frank

Apa dalam komentar Anda? Selain itu, kelilingi matematika-LaTeX Anda dengan tanda dolar untuk membuatnya berfungsi (menggunakan \ exp untuk membuat "exp" keluar dengan benar, dan \ lambda untuk membuat , \ jumlah untuk , dll.)

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— jbowman

Ya, saya tidak terlalu bagus di LaTex, tapi begini saja. Jadi, kombinasi linear RVs saya adalah: , dan produk dari MGF mereka adalah: , jika saya benar, jika RV didistribusikan sebagai . Saya telah menggunakan t yang sama untuk semua RV, tetapi saya harus menggunakan .

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$

t_{i}

$t_{i}$

— Frank

Kesalahannya adalah bahwa MGF dari adalah dan bukan

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume

Jawaban:

Kombinasi linear dari variabel acak Poisson

Seperti yang telah Anda hitung, fungsi penghasil momen dari distribusi Poisson dengan rate adalah $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

Sekarang, mari kita fokus pada kombinasi linear dari independen Poisson variabel acak dan . Mari . Kemudian, $X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

Jadi, jika memiliki rate dan memiliki rate , kita mendapatkan dan ini, secara umum, tidak dapat ditulis dalam bentuk untuk beberapa kecuali . $X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

Inversi fungsi penghasil momen

Jika fungsi saat menghasilkan ada di lingkungan nol, maka itu juga ada sebagai fungsi bernilai kompleks di jalur tak terbatas di sekitar nol. Ini memungkinkan inversi dengan integrasi kontur untuk ikut bermain dalam banyak kasus. Memang, Transformasi Laplace dari variabel acak non-negatif adalah alat yang umum dalam teori proses stokastik, terutama untuk menganalisis waktu berhenti. Perhatikan bahwa untuk nilai nyata . Anda harus membuktikan sebagai latihan bahwa transformasi Laplace selalu ada untuk untuk variabel acak nonnegatif. $\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

Inversi kemudian dapat dicapai baik melalui integral Bromwich atau rumus Post inversion . Interpretasi probabilistik dari yang terakhir dapat ditemukan sebagai latihan dalam beberapa teks probabilitas klasik.

Meskipun tidak terkait langsung, Anda mungkin tertarik pada catatan berikut juga.

JH Curtiss (1942), Catatan tentang teori fungsi menghasilkan momen , Ann. Matematika Stat. , vol. 13, tidak. 4, hlm. 430–433.

Teori terkait lebih umum dikembangkan untuk fungsi karakteristik karena ini sepenuhnya umum: Mereka ada untuk semua distribusi tanpa dukungan atau pembatasan momen.

— kardinal
sumber

(+1) Apakah rumus inversi murni teoretis atau kadang-kadang benar-benar digunakan?

— gui11aume

@ gui11aume: Digunakan di beberapa tempat; tetapi, contoh-contoh yang biasa Anda temukan dalam sebuah teks biasanya justru merupakan contoh yang tidak Anda perlukan. :)

— kardinal

Jadi, mungkin lebih mudah bekerja dengan CF daripada MGF? MGF tidak selalu ada, bukan? Kenapa repot-repot dengan mereka?

— Frank

@ Frank: Secara pedagogis mereka lebih mudah diperkenalkan kepada siswa yang tahu kalkulus, tetapi memiliki sedikit atau tidak ada latar belakang dalam variabel kompleks. Ketika mereka ada, mereka memiliki sifat yang sepenuhnya analog dengan CF. Mereka memainkan peran penting dalam beberapa bagian teori probabilitas dan statistik teoritis, misalnya, penyimpangan besar dan kemiringan eksponensial.

— kardinal

@ Frank: Ini adalah distribusi Levy stable dan satu-satunya dengan MGF adalah distribusi normal. Memang, CF adalah yang alat untuk masalah ini; bentuk yang mungkin dari CF dikenal untuk semua distribusi seperti itu, tetapi bentuk tertutup pdf yang sesuai hanya diketahui dalam beberapa contoh.

α

$\alpha$

— kardinal

Distribusi Poisson stabil dengan jumlah. Mereka secara sepele tidak stabil oleh kombinasi linear karena Anda bisa berakhir dengan nilai-nilai noninteger. Misalnya, jika adalah Poisson, secara sepele bukan Poisson. $X$ $X/2$

Saya tidak mengetahui rumus inversi untuk MGF (tapi @ cardinal sepertinya).

— gui11aume
sumber

(+1) Karena saya suka bukti ilustratif sederhana dan contoh tandingan yang segera mengedepankan inti permasalahan.

— kardinal

Saya punya pertanyaan tentang terminologi. Dalam statistik saya mempelajari dsitribusi stabil adalah yang distribusi batas yang memenuhi kondisi konvergensi yang disebut hukum stabil. Ini adalah distribusi nonnormal yang berkelanjutan. Merupakan distribusi untuk batas rata-rata Z yang dinormalisasi tetapi teorema batas pusat tidak berlaku untuk Z karena perilaku ekor dari distribusi populasi. Sebenarnya teorema limit pusat dapat menjadi bagian dari hukum stabil jika parameter alpha tertentu = 2.

— Michael R. Chernick

Apa yang Anda sebut stabil di sini lebih dekat dengan jumlah yang menurut saya lebih seperti istilah yang dapat dibagi habis. Dalam bidang apa istilah stabil digunakan untuk ini? Apakah ini digunakan dalam probabilitas dan statistik?

— Michael R. Chernick

(+1) Menurut Wikipedia distribusi "stabil" adalah sedemikian rupa sehingga memiliki distribusi yang sama dengan , yang bukan kasus Poisson. Saya kira satu-satunya istilah yang tepat (koreksi saya jika saya salah) adalah "Keluarga Poisson stabil dengan jumlah". Secara umum, ini tidak berarti bahwa distribusinya dapat dibagi habis (pikirkan binomial), tetapi Poisson kebetulan memiliki properti ini.

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$

— gui11aume