Apa perbedaan antara fungsi yang menghasilkan momen dan fungsi yang menghasilkan probabilitas?

13

Saya bingung antara dua istilah "fungsi yang menghasilkan probabilitas" dan "fungsi yang menghasilkan momen." Bagaimana perbedaan istilah-istilah itu?

— manashi
sumber

23

Fungsi menghasilkan probabilitas biasanya digunakan untuk variabel acak bernilai integer (tidak negatif), tetapi sebenarnya hanya pengemasan ulang dari fungsi pembangkit momen. Jadi keduanya berisi informasi yang sama.

Biarkan menjadi variabel acak non-negatif. Kemudian (lihat https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) fungsi menghasilkan probabilitas didefinisikan sebagai dan fungsi menghasilkan momen adalah Sekarang tentukan sehingga . Kemudian $X$

G (z) = E z^{X}

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$

{M.}_{X} (t) = E e^{t X}

$M_X(t) = \E e^{t X}$

\log z = t

$\log z=t$

e^{t} = z

$e^t=z$

Jadi, untuk menyimpulkan, hubungannya sederhana:

G (z) = E z^{X} = E (e^{t})^{X} = E e^{t X} = {M.}_{X} (t) = {M.}_{X} (catatan z)

$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$

G (z) = {M.}_{X} (catatan z)

$G(z) = M_X(\log z)$

EDIT

$G(z) = M_X(\log z)$ $z$

G (z) = E z^{X} = \int_{0}^{\infty} z^{x} e^{- x} d x = \dots = \frac{1}{1 - \log z}

$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$

— kjetil b halvorsen
sumber

1

(+1) Meskipun saya memiliki jawaban yang bersaing.

— Carl

(+1) Lagi. Aneh, saya kira jika saya mengedit, saya dapat memilih lagi.

— Carl

10

Mari kita mendefinisikan keduanya terlebih dahulu lalu tentukan perbedaannya.

1) Dalam teori probabilitas dan statistik, fungsi penghasil momen (mgf) dari variabel acak bernilai nyata adalah spesifikasi alternatif dari distribusi probabilitasnya.

2) Dalam teori probabilitas, fungsi pembangkitan probabilitas (pgf) dari variabel acak diskrit adalah representasi rangkaian daya (fungsi pembangkit) dari fungsi massa probabilitas dari variabel acak.

$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

Seperti yang ditunjukkan oleh @kjetilbhalvorsen, pgf berlaku untuk variabel-variabel acak non-negatif dan bukan hanya diskrit. Dengan demikian, entri Wikipedia saat ini dalam fungsi menghasilkan probabilitas memiliki kesalahan kelalaian, dan harus ditingkatkan.

— Carl
sumber

1

Pgf dan mgf dari distribusi Poisson, meskipun terkait erat (seperti yang dijelaskan dalam jawaban yang diposting oleh Kjetil Halvorsen), jelas tidak "sama."

— whuber

@whuber Setuju, saya memiliki masalah yang sama dengan jawaban Kjetil Halvorsen, yaitu

G (z) = M_{X} (\log z)

$G(z) = M_X(\log z)$ , yang benar, kecuali bila itu salah.

— Carl

1

@whuber Lihat hasil edit saya untuk jawaban saya (akan dikirim dalam beberapa menit) untuk jawaban atas pertanyaan implisit ini.

— kjetil b halvorsen