“Variabel acak benar-benar berkelanjutan” vs. “Variabel acak kontinu”?

Dalam buku "Limit Theorems of Probability Theory" oleh Valentin V. Petrov, saya melihat perbedaan antara definisi distribusi yang "berkelanjutan" dan "benar-benar berkelanjutan", yang dinyatakan sebagai berikut:

$(*)$ "... Distribusi variabel acak dikatakan kontinu jika untuk setiap himpunan titik terbatas atau dapat dihitung dari garis nyata. Dikatakan menjadi benar-benar kontinu jika untuk semua set Borel dari Lebesgue mengukur nol ... " $X$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$

Konsep yang saya kenal adalah:

$(\#)$ "Jika variabel acak memiliki Fungsi Distribusi Kumulatif kontinu, maka itu benar-benar kontinu."

$\textbf{My questions are:}$ apakah dua uraian tentang "kontinuitas absolut" di dan membicarakan hal yang sama? Jika ya, bagaimana saya bisa menerjemahkan satu penjelasan ke penjelasan lainnya? $(*)$ $(\#)$

Terima kasih!

probability distributions random-variable

— Tian
sumber

Contoh standar dari distribusi kontinu tetapi tidak sepenuhnya kontinu dibahas di stats.stackexchange.com/questions/229556/… , di mana grafiknya dan kode diberikan kepada sampel darinya.

— Whuber

Deskripsi berbeda: hanya yang pertama yang benar. Jawaban ini menjelaskan bagaimana dan mengapa. $(*)$

Distribusi berkelanjutan

Distribusi "kontinu" adalah kontinu dalam arti fungsi kontinu yang biasa . Satu definisi (biasanya yang pertama orang temui dalam pendidikan mereka) adalah bahwa untuk setiap dan untuk angka berapa pun terdapat (tergantung pada dan ) yang nilai pada -lokasi bervariasi tidak lebih dari dari . $F$ $x$ $\epsilon\gt 0$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F(x)$

$F$ $X$ $\Pr(X=x)=0$ $x$ $\delta$ $\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$ $\epsilon \gt 0$ $\Pr(X=x)$ $\epsilon$ $\Pr(X=x)=0$ $B$

Distribusi yang benar-benar berkelanjutan

Semua fungsi distribusi mendefinisikan positif, hingga langkah-langkah ditentukan oleh $F$ $\mu_F$

μ_{F} ((a, b]) = F (b) - F (a) .

$\mu_F((a,b]) = F(b) - F(a).$

Kontinuitas absolut adalah konsep teori ukuran. Satu ukuran benar-benar berkelanjutan sehubungan dengan ukuran lain (keduanya didefinisikan pada aljabar sigma yang sama) ketika, untuk setiap set dapat diukur , menyiratkan . Dengan kata lain, relatif terhadap , tidak ada set "kecil" (ukur nol) yang diberikan untuk "besar" (bukan nol). $\mu_F$ $\lambda$ $E$ $\lambda(E)=0$ $\mu_F(E)=0$ $\lambda$ $\mu_F$

Kita akan menggunakan sebagai ukuran Lebesgue yang biasa, yang adalah panjang interval. Paruh kedua dari menyatakan bahwa ukuran probabilitas benar-benar berkelanjutan sehubungan dengan ukuran Lebesgue. $\lambda$ $\lambda((a,b]) = b-a$ $(*)$ $\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

Kontinuitas absolut terkait dengan diferensiabilitas. Turunan dari satu ukuran terhadap lainnya (pada beberapa titik ) adalah konsep intuitif: ambil satu set lingkungan terukur dari yang menyusut menjadi dan bandingkan dua ukuran di lingkungan tersebut. Jika mereka selalu mendekati batas yang sama, tidak peduli urutan lingkungan apa yang dipilih, maka batas itu adalah turunannya. (Ada masalah teknis: Anda perlu membatasi lingkungan itu sehingga mereka tidak memiliki bentuk "patologis". Itu dapat dilakukan dengan mengharuskan setiap lingkungan untuk menempati bagian yang tidak dapat diabaikan dari wilayah di mana ia berada.) $x$ $x$ $x$

Diferensiasi dalam pengertian ini adalah tepatnya apa yang menjadi pertanyaan di Apa definisi probabilitas pada distribusi kontinu? sedang menangani.

Mari kita menulis untuk turunan dari sehubungan dengan . Teorema yang relevan - ini adalah versi teoretis ukuran dari Teorema Dasar Kalkulus --memberitahukan $D_\lambda(\mu_F)$ $\mu_F$ $\lambda$

$\mu_F$ benar-benar berkelanjutan sehubungan dengan jika dan hanya jika untuk setiap set dapat diukur . [Rudin, Teorema 8.6] $\lambda$
$μ_{F} (E) = \int_{E} (D_{λ} μ_{F}) (x) d λ$ $\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$ $E$

Dengan kata lain, kontinuitas absolut (dari sehubungan dengan ) setara dengan keberadaan fungsi kepadatan . $\mu_F$ $\lambda$ $D_\lambda(\mu_F)$

Ringkasan

Distribusi adalah kontinu ketika kontinu sebagai fungsi: secara intuitif, tidak memiliki "lompatan." $F$ $F$
Distribusi benar-benar kontinu ketika memiliki fungsi kepadatan (sehubungan dengan ukuran Lebesgue). $F$

Bahwa kedua jenis kontinuitas tidak setara ditunjukkan oleh contoh, seperti yang diceritakan di https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 . Ini adalah fungsi penyanyi terkenal . Untuk fungsi ini, hampir di mana-mana horisontal (seperti grafiknya membuat jelas), di mana hampir di mana-mana nol, dan karena itu . Ini jelas tidak memberikan nilai yang benar dari (sesuai dengan aksioma total probabilitas). $F$ $D_\lambda(\mu_F)$ $\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$ $1$

Komentar

Hampir semua distribusi yang digunakan dalam aplikasi statistik mutlak kontinu, tidak ada yang kontinu (diskrit), atau campurannya, sehingga perbedaan antara kontinuitas dan kontinuitas absolut sering diabaikan. Namun, kegagalan untuk menghargai perbedaan ini dapat menyebabkan pemikiran berlumpur dan intuisi yang buruk, terutama dalam kasus-kasus di mana kekakuan paling dibutuhkan: yaitu, ketika situasi membingungkan atau tidak intuitif, jadi kami mengandalkan matematika untuk membawa kami ke hasil yang benar. Itulah sebabnya kita biasanya tidak mempermasalahkan hal ini dalam praktik, tetapi semua orang harus mengetahuinya.

Referensi

Rudin, Walter. Analisis Nyata dan Kompleks . McGraw-Hill, 1974: bagian 6.2 (Absolute Continuity) dan 8.1 (Derivatives of Measures).

— whuber
sumber

Dalam aplikasi lain, distribusi yang tidak mutlak terus bertambah. Salah satu contoh adalah dalam (beberapa) sistem dinamis, di mana sepatu kuda smale berlimpah, yang menimbulkan distribusi dengan properti seperti distribusi Cantor.

— kjetil b halvorsen