Referensi untuk ?

Dalam jawaban untuk pertanyaan saya sebelumnya, @Erik P. memberikan ekspresi mana adalah kelebihan kurtosis dari distribusi. Referensi ke entri Wikipedia tentang distribusi varian sampel diberikan, tetapi halaman wikipedia mengatakan "rujukan?"

V a r [s^{2}] = σ^{4} (\frac{2}{n - 1} + \frac{κ}{n}),

$\mathrm{Var}[s^2]=\sigma^4 \left(\frac{2}{n-1} + \frac{\kappa}{n}\right) \>,$

κ

$\kappa$

Pertanyaan utama saya adalah, apakah ada referensi untuk formula ini? Apakah ini 'sepele' untuk diturunkan, dan jika demikian, dapatkah itu ditemukan dalam buku teks? (@Erik P. tidak dapat menemukannya dalam statistik Matematika dan analisis data maupun saya dalam Inferensi Statistik oleh Casella dan Berger . Meskipun topik tersebut dibahas.

Akan menyenangkan untuk memiliki referensi buku teks, tetapi bahkan lebih bermanfaat untuk memiliki referensi utama.

(Pertanyaan terkait adalah: Apa distribusi varian sampel dari distribusi yang tidak diketahui? )

Pembaruan : @ cardinal menunjukkan persamaan lain pada matematika. SE : mana adalah momen sentral keempat.

V a r (S^{2}) = \frac{μ_{4}}{n} - \frac{σ^{4} (n - 3)}{n (n - 1)}

$\mathrm{Var}(S^2)={\mu_4\over n}-{\sigma^4\,(n-3)\over n\,(n-1)}$

μ_{4}

$\mu_4$

Apakah ada cara untuk mengatur ulang persamaan dan menyelesaikan keduanya, atau apakah persamaan dalam judul itu salah?

estimation variance references

— Abe
sumber

Saya pikir formula itu tidak benar.

— kardinal

Terkait: math.stackexchange.com/a/73080/7003

— kardinal

pertanyaan terkait itu ditanyakan oleh @ byron-schmuland

— Abe

Saya pikir maksud Anda dijawab , bukan ditanyakan . Rumus yang diberikan dalam pertanyaan ini salah; sebagai jawaban Byron menunjukkan dengan baik. :)

— kardinal

Sayangnya, ping seperti itu tidak berfungsi kecuali dia sudah berpartisipasi dalam aliran komentar. :( (Tampaknya dia telah memperhatikan komentar yang Anda kirim pada pertanyaan di situs matematika.) Cheers.

— cardinal

Jawaban:

Sumber: Pengantar Teori Statistik , Mood, Graybill, Boes, Edisi ke-3, 1974, hlm. 229.

Penurunan: Perhatikan bahwa di tautan Wikipedia OP, bukanlah kurtosis tetapi kurtosis berlebih , yang merupakan kurtosis "biasa" - 3. Untuk kembali ke kurtosis "biasa", kita harus menambahkan 3 di tempat yang tepat di rumus Wikipedia. $\kappa$

Kami punya, dari MGB:

$\text{Var}[S^2] = {1\over{n}}(\mu_4 - {{n-3}\over{n-1}}\sigma^4)$

yang, menggunakan identitas , dapat diatur ke (tambang derivasi, jadi ada kesalahan juga): $\mu_4 = (\kappa + 3)\sigma^4$

$= {1\over{n}}(\kappa \sigma^4 + {{n-1}\over{n-1}}3\sigma^4 -{{n-3}\over{n-1}}\sigma^4) = \sigma^4\left({\kappa \over{n}}+{3(n-1)-(n-3)\over{n(n-1)}}\right) = \sigma^4\left({\kappa\over{n}} + {{2}\over{n-1}}\right)$

— Jbowman
sumber

(+1) Hampir 40 tahun sejak edisi terakhir, MGB masih merupakan pengantar awal / menengah terbaik untuk stat matematika. Sayang sekali sudah tidak dicetak lagi di dunia Barat begitu lama.

— kardinal

Saya menemukan pdf dari MGD , tetapi tidak ada kutipan ke bukti aslinya. Yang mana tidak apa-apa, tetapi akan menyenangkan untuk mengetahui di mana menemukannya.

— Abe

Derivasi yang sebenarnya dari hasilnya bukan di MGB, melainkan kita terdegradasi ke masalah 5 (b) di halaman 266.

— kardinal

Ya, tidak semua pernyataan disertai dengan bukti, tetapi setidaknya yang ini ada dalam teks, tidak diturunkan ke pertanyaan, dan ada garis besar pendekatan untuk bukti pada hal. 230.

— jbowman

@Abe: Anda hampir pasti tidak akan menemukan referensi "asli" untuk ini. Ini bukan jenis hasil "diterbitkan" mandiri yang ditemukan dalam jurnal akademik. Ini hanyalah perhitungan (agak membosankan) yang mengikuti dari sifat dasar ekspektasi matematis. Mengutip buku teks seperti MGB sangat masuk akal dan dapat diterima.

— kardinal

Tidak jelas apakah ini akan sesuai dengan kebutuhan Anda untuk referensi yang pasti, tetapi pertanyaan ini muncul dalam latihan Casella dan Berger:

(halaman 364, latihan 7.45 b):

masukkan deskripsi gambar di sini

Dengan merujuk pada latihan 5b yang menyediakan varian lain, di mana dan adalah momen kedua dan keempat ( dan ), masing-masing: $\Theta_2$ $\Theta_4$ $\sigma^2$ $\kappa$

masukkan deskripsi gambar di sini

Ini sama dengan persamaan yang diberikan dalam jawaban pada matematika. SE :

$\mbox{Var}(S^2)={\mu_4\over n}-{\sigma^4\,(n-3)\over n\,(n-1)}$

— David LeBauer
sumber

Sangat menarik bahwa tautan Anda dan tautan saya (di komentar ke OP) berbeda, tetapi arahkan ke tempat yang sama.

— kardinal

@ cardinal - Saya baru saja menyalin-paste dari OP - tetapi digit terakhir adalah id pengguna dari orang yang menyalin tautan, mis. tautan saya adalah math.stackexchange.com/a/73080/3733

— David LeBauer

Aha! (+1) Saya tidak melihat bahwa bagian terakhir dari tautan itu adalah id sendiri! Terima kasih telah menunjukkannya. Kami sedang diikuti ...

— kardinal

itu baik untuk memiliki referensi yang dapat dipercaya, tetapi akan tetap bagus untuk melacak yang asli. +1 untuk melihat latihan.

— Abe

@ cardinal satu pembenaran untuk / penggunaan pelacakan adalah lencana untuk berbagi tautan (penyiar, penguat, humas)

— David LeBauer