Apakah ada generalisasi jejak Pillai dan jejak Hotelling-Lawley?

Dalam pengaturan multivariat regresi berganda (vektor regressor dan regressand), empat tes utama untuk hipotesis umum (Wilk Lambda, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley, dan Roy's Root Terbesar) semua tergantung pada nilai eigen dari matriks , di mana dan adalah matriks variasi 'dijelaskan' dan 'total'. $H E^{-1}$ $H$ $E$

Saya telah memperhatikan bahwa statistik Pillai dan Hotelling-Lawley keduanya dapat dinyatakan sebagai untuk, masing-masing, . Saya melihat sebuah aplikasi di mana distribusi jejak ini, yang didefinisikan untuk analog populasi dan , menarik untuk kasus . (kesalahan modulo dalam pekerjaan saya.) Saya ingin tahu apakah ada beberapa penyatuan yang diketahui dari statistik sampel untuk umum , atau generalisasi lain yang menangkap dua atau lebih dari empat tes klasik. Saya menyadari bahwa untuk tidak sama dengan atau

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$ , pembilang tidak lagi terlihat seperti Chi-square di bawah nol, dan perkiraan pusat F tampaknya dipertanyakan, jadi mungkin ini jalan buntu.

Saya berharap bahwa ada beberapa penelitian tentang distribusi $\psi_{\kappa}$ bawah nol ( yaitu matriks sebenarnya dari koefisien regresi semuanya nol), dan di bawah alternatif. Saya tertarik khususnya pada kasus $\kappa = 2$ , tetapi jika ada pekerjaan pada kasus umum $\kappa$ , saya tentu saja dapat menggunakannya.

— shabbychef
sumber

Tunggu,

adalah variasi 'E'xplained dan

adalah variasi' T'otal? Hanya memeriksa mnemonik saya.

H

$H$

E

$E$

— kardinal

@ kardinal, itu benar. Ketika

adalah multivariat kuadrat terkecil cocok untuk koefisien korelasi, kita memiliki

dan

A (secara harfiah) gambaran gambaran besar dari Michael Ramah telah cukup berguna bagi saya: psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/...

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

— shabbychef

Terima kasih! Saya akan lihat. (Ngomong-ngomong, aku agak hanya menggoda berdasarkan pilihan surat, 'h' untuk 'dijelaskan' dan 'e' untuk 'total'.) Ngomong-ngomong, pertanyaan yang menarik; (+1) dari saya.

— kardinal

@ cardinal saya tidak cukup berkafein untuk memperhatikan lelucon itu. Ya, mnemonik buruk, tetapi pilihan

dan

(dan

) agak standar.

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

— shabbychef

Lelucon itu cukup buruk sehingga perlu banyak kafein untuk diperhatikan.

— kardinal

Saya membayangkan generalisasi produktif akan keluar dari pengamatan itu

${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
$HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
$\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

$\psi_2$

— Tugas
sumber

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$