Memahami Regresi Logistik dan kemungkinannya

Bagaimana cara estimasi parameter / Pelatihan regresi logistik bekerja? Saya akan mencoba untuk menempatkan apa yang saya dapatkan sejauh ini.

Outputnya adalah y dari fungsi logistik yang berbentuk probabilitas tergantung pada nilai x: $P (y = 1 | x) = \frac{1}{1 + e^{- ω^{T} x}} \equiv σ (ω^{T} x)$ $P(y=1|x)={1\over1+e^{-\omega^Tx}}\equiv\sigma(\omega^Tx)$ $P (y = 0 | x) = 1 - P (y = 1 | x) = 1 - \frac{1}{1 + e^{- ω^{T} x}}$ $P(y=0|x)=1-P(y=1|x)=1-{1\over1+e^{-\omega^Tx}}$
Untuk satu dimensi yang disebut Peluang didefinisikan sebagai berikut: $\frac{p (y = 1 | x)}{1 - p (y = 1 | x)} = \frac{p (y = 1 | x)}{p (y = 0 | x)} = e^{ω_{0} + ω_{1} x}$ ${{p(y=1|x)}\over{1-p(y=1|x)}}={{p(y=1|x)}\over{p(y=0|x)}}=e^{\omega_0+\omega_1x}$
Sekarang menambahkan logfungsi untuk mendapatkan W_0 dan W_1 dalam bentuk linear: $L o g i t (y) = l o g (\frac{p (y = 1 | x)}{1 - p (y = 1 | x)}) = ω_{0} + ω_{1} x$ $Logit(y)=log({{p(y=1|x)}\over{1-p(y=1|x)}})=\omega_0+\omega_1x$
Sekarang ke bagian masalah Menggunakan kemungkinan (Big X adalah y) Bisakah ada yang tahu mengapa kita mempertimbangkan probabilitas y = 1 dua kali? sejak: $L (X | P) = \prod_{i = 1, y_{i} = 1}^{N} P (x_{i}) \prod_{i = 1, y_{i} = 0}^{N} (1 - P (x_{i}))$ $L(X|P)=\prod^N_{i=1,y_i=1}P(x_i)\prod^N_{i=1,y_i=0}(1-P(x_i))$ $P (y = 0 | x) = 1 - P (y = 1 | x)$ $P(y=0|x)=1-P(y=1|x)$

dan bagaimana mendapatkan nilai ω darinya?

regression logistic likelihood

— Mesin
sumber

Asumsikan secara umum bahwa Anda memutuskan untuk mengambil model formulir

P (y = 1 | X = x) = h (x; Θ)

$P(y=1|X=x) = h(x;\Theta)$

untuk beberapa parameter . Maka Anda cukup menuliskan kemungkinan untuk itu, yaitu $\Theta$

L (Θ) = \prod_{i \in {1, . . ., N}, y_{i} = 1} P (y = 1 | x = x; Θ) \cdot \prod_{i \in {1, . . ., N}, y_{i} = 0} P (y = 0 | x = x; Θ)

$L(\Theta) = \prod_{i \in \{1, ..., N\}, y_i = 1} P(y=1|x=x;\Theta) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., N\}, y_i = 0} P(y=0|x=x;\Theta)$

yang sama dengan

L (Θ) = \prod_{i \in {1, . . ., N}, y_{i} = 1} P (y = 1 | x = x; Θ) \cdot \prod_{i \in {1, . . ., N}, y_{i} = 0} (1 - P (y = 1 | x = x; Θ))

$L(\Theta) = \prod_{i \in \{1, ..., N\}, y_i = 1} P(y=1|x=x;\Theta) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., N\}, y_i = 0} (1-P(y=1|x=x;\Theta))$

Sekarang Anda telah memutuskan untuk 'berasumsi' (model)

P (y = 1 | X = x) = σ (Θ_{0} + Θ_{1} x)

$P(y=1|X=x) = \sigma(\Theta_0 + \Theta_1 x)$

di mana

σ (z) = 1 / (1 + e^{- z})

$\sigma(z) = 1/(1+e^{-z})$

jadi Anda hanya menghitung rumus untuk kemungkinan dan melakukan beberapa jenis algoritma optimasi untuk menemukan , misalnya, metode newton atau metode berbasis gradien lainnya. $\text{argmax}_\Theta L(\Theta)$

Perhatikan bahwa kadang-kadang, orang mengatakan bahwa ketika mereka melakukan regresi logistik mereka tidak memaksimalkan kemungkinan (seperti yang kita / Anda lakukan di atas) tetapi mereka meminimalkan fungsi kerugian

l (Θ) = - \sum_{i = 1}^{N} y_{i} \log (P (Y_{i} = 1 | X = x; Θ)) + (1 - y_{i}) \log (P (Y_{i} = 0 | X = x; Θ))

$l(\Theta) = -\sum_{i=1}^N{y_i\log(P(Y_i=1|X=x;\Theta)) + (1-y_i)\log(P(Y_i=0|X=x;\Theta))}$

tetapi perhatikan bahwa . $-\log(L(\Theta)) = l(\Theta)$

Ini adalah pola umum dalam Pembelajaran Mesin: Sisi praktis (meminimalkan fungsi kerugian yang mengukur seberapa 'salah' model heuristik) sebenarnya sama dengan 'sisi teoretis' (pemodelan secara eksplisit dengan simbol- , yang memaksimalkan jumlah statistik seperti kemungkinan) dan pada kenyataannya, banyak model yang tidak terlihat seperti probabilistik (misalnya SVM) dapat dipahami kembali dalam konteks probabilistik dan pada kenyataannya adalah maksimalisasi kemungkinan. $P$

— Fabian Werner
sumber

@Erner terima kasih atas jawaban Anda. Tetapi saya masih perlu sedikit klarifikasi.1 dapatkah Anda jelaskan apa yang tinggal 2

dalam definisi

karena sejauh saya memahaminya saya diintervensi dalam kasus

. dan bagaimana bisa mendapatkan nilai

dan

terima kasih banyak atas bantuan Anda!

\prod

$\prod$

L (θ)

$L(\theta)$

y_{i} = 1

$y_i =1$

ω_{1}

$\omega_1$

ω_{0}

$\omega_0$

— Mesin

@ Engine: 'pi' besar adalah produk ... seperti Sigma besar

adalah penjumlahan ... apakah Anda mengerti atau Anda perlu klarifikasi lebih lanjut tentang itu juga? Pada pertanyaan kedua: Katakanlah kita ingin meminimalkan fungsi

dan kita mulai dari

tetapi mari kita asumsikan bahwa kita tidak tahu / tidak bisa mengekspresikan / tidak dapat memvisualisasikan

karena rumit . Sekarang turunan dari

adalah

. Menariknya jika kita benar dari minimum

Σ

$\Sigma$

f (x) = x^{2}

$f(x) = x^2$

x = 3

$x=3$

f

$f$

f

$f$

f^{'} = 2 x

$f' = 2x$

x = 0

$x=0$ itu menunjuk ke kanan dan jika kita dibiarkan itu menunjuk ke kiri. Secara matematis, turunan menunjuk ke arah 'pendakian terkuat'

— Fabian Werner

@ Engine: Dalam lebih banyak dimensi Anda mengganti turunan dengan gradien, yaitu Anda mulai pada titik acak

dan menghitung gradien

pada

dan jika Anda ingin memaksimalkan maka titik berikutnya

adalah

. Kemudian Anda menghitung

dan Anda

berikutnya adalah

x_{0}

$x_0$

\partial f

$\partial f$

x

$x$

x_{1}

$x_1$

x_{1} = x_{0} + \partial f (x_{0})

$x_1 = x_0 + \partial f(x_0)$

\partial f (x_{1})

$\partial f(x_1)$

x

$x$

dan sebagainya. Ini disebut gradient ascend / descent dan merupakan teknik yang paling umum dalam memaksimalkan suatu fungsi. Sekarang Anda melakukannya dengan

atau dengan notasi Anda

untuk menemukan

yang memaksimalkan

x_{2} = x_{1} + \partial f (x_{1})

$x_2 = x_1 + \partial f(x_1)$

L (Θ)

$L(\Theta)$

L (ω)

$L(\omega)$

ω

$\omega$

L

$L$

— Fabian Werner

y = 1

$y=1$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

y = 1

$y=1$

y = 1

$y=1$

y = 0

$y=0$

— Fabian Werner

$, y_i=1$ $,y_i=0$

$\omega$ $\omega$

— Maarten Buis
sumber

y_{i} = 0

$y_i = 0$

ω

$\omega$

\prod_{i = 1, y = 1}^{N}

$\prod_{i=1, y=1}^N$

i = 1

$i=1$

N

$N$

y = 1

$y=1$

Ada banyak kemungkinan algoritma untuk memaksimalkan fungsi kemungkinan. Yang paling umum, metode Newton-Raphson , memang melibatkan menghitung turunan pertama dan kedua.

— Maarten Buis