Kebingungan tentang kriging

9

Saya sedang membaca artikel wikipedia ini terkait dengan kriging. Saya tidak mengerti bagian ketika mengatakan itu

Kriging menghitung terbaik linear berisi , dari sehingga kriging varians dari diminimalkan dengan kondisi unbiasedness. Saya tidak mendapatkan derivasi dan juga bagaimana variansnya diminimalkan. Ada saran? $\hat Z (x_0)$ $Z(x_0)$

Khususnya, saya tidak mendapatkan bagian di mana berlaku diminimalkan tunduk pada kondisi tidak memihak.

Saya pikir seharusnya begitu

E [Z '(x0) -Z (x0)] bukan E [Z' (x) -Z (x)] bukan. 'Ini setara dengan topi di artikel wiki. Juga saya tidak mengerti bagaimana kesalahan kriging diturunkan

interpolation

— pengguna31820
sumber

Di mana Anda terpaku pada derivasi?

— whuber

Bagian di mana ia menghitung kesalahan kriging dan memaksakan kondisi ketidakberpihakan. Baik untuk mengatakan bahwa kondisi yang tidak memihak berarti ekspektasi penduga dan yang benar adalah sama. Saya telah mengedit posting untuk memasukkan rinciannya.

— user31820

Saya pikir Anda benar bahwa ekspresi Wikipedia harus membaca

.

E [Z^{'} (x_{0}) - Z (x_{0})]

$E[Z'(x_0)-Z(x_0)]$

— Whuber

13

Misalkan adalah vektor yang diasumsikan memiliki distribusi multivariat dari mean yang tidak diketahui dan matriks varians-kovarians yang diketahui . Kami mengamati dari distribusi ini dan ingin memprediksi dari informasi ini menggunakan prediktor linier yang tidak bias: $\left(Z_0, Z_1, \ldots, Z_n\right)$ $(\mu, \mu, \ldots, \mu)$ $\Sigma$ $\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ $z_0$

Linear berarti prediksi harus berbentuk untuk koefisien akan ditentukan. Koefisien-koefisien ini dapat bergantung paling banyak pada apa yang diketahui sebelumnya: yaitu, entri . $\hat{z_0} = \lambda_1 z_1 + \lambda_2 z_2 + \cdots + \lambda_n z_n$ $\lambda_i$ $\Sigma$

Prediktor ini juga dapat dianggap sebagai variabel acak . $\hat{Z_0} = \lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n$

Tidak sesuai artinya harapan sama dengan rata-rata (tidak diketahui) . $\hat{Z_0}$ $\mu$

Menuliskan sesuatu memberikan beberapa informasi tentang koefisien:

\begin{aligned} μ & = E [\hat{Z_{0}}] = E [λ_{1} Z_{1} + λ_{2} Z_{2} + \dots + λ_{n} Z_{n}] \\ = λ_{1} E [Z_{1}] + λ_{2} E [Z_{2}] + \dots + λ_{n} E [Z_{n}] \\ = λ_{1} μ + \dots + λ_{n} μ \\ = (λ_{1} + \dots + λ_{n}) μ . \end{aligned}

$\eqalign{ \mu &= E[\hat{Z_0}] = E[\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n] \\ &= \lambda_1 E[Z_1] + \lambda_2 E[Z_2] + \cdots + \lambda_n E[Z_n] \\ &= \lambda_1 \mu + \cdots + \lambda_n \mu \\ &= \left(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n\right) \mu. \\ }$

Baris kedua adalah karena linearitas harapan dan sisanya adalah aljabar sederhana. Karena prosedur ini seharusnya berfungsi terlepas dari nilai , jelas koefisien harus dijumlahkan menjadi satu. Menulis koefisien dalam notasi vektor , ini dapat ditulis dengan rapi . $\mu$ $\lambda = (\lambda_i)'$ $\mathbf{1}\lambda=1$

Di antara set semua prediktor linier yang tidak bias seperti itu, kami mencari satu yang menyimpang sesedikit mungkin dari nilai sebenarnya , diukur dalam ruang mean square. Ini, sekali lagi, adalah perhitungan. Itu bergantung pada bilinearitas dan simetri kovarians, yang penerapannya bertanggung jawab atas penjumlahan pada baris kedua:

\begin{aligned} E [(\hat{Z_{0}} - Z_{0})^{2}] & = E [(λ_{1} Z_{1} + λ_{2} Z_{2} + \dots + λ_{n} Z_{n} - Z_{0})^{2}] \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} λ_{j} var [Z_{i}, Z_{j}] - 2 \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} var [Z_{i}, Z_{0}] + var [Z_{0}, Z_{0}] \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} λ_{i} λ_{j} Σ_{i, j} - 2 \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} Σ_{0, i} + Σ_{0, 0} . \end{aligned}

$\eqalign{ E[(\hat{Z_0} - Z_0)^2] &= E[(\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n - Z_0)^2] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \text{var}[Z_i, Z_j]-2\sum_{i=1}^n\lambda_i \text{var}[Z_i, Z_0] + \text{var}[Z_0, Z_0] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \Sigma_{i,j} - 2\sum_{i=1}^n\lambda_i\Sigma_{0,i} + \Sigma_{0,0}. }$

$\mathbf{1}\lambda=1$

$Z$ $\mathbf{x_0}, \ldots, \mathbf{x_n}$ $Z$ $\left(Z(\mathbf{x_0}), \ldots, Z(\mathbf{x_n})\right)$ $Z_i = Z(\mathbf{x_i})$ $n+1$ $\mathbf{x_i}$ $n+1$

$\sigma_{OK}^2$ $\Sigma$ $\left(Z_0, \ldots, Z_n\right)$ $z_0$

Rata-rata prediksi kami benar.
$z_0$ $\sigma_{OK}$ $z_0$

Jauh lebih banyak yang perlu dikatakan sebelum ini dapat diterapkan pada situasi praktis seperti memperkirakan permukaan dari data tepat waktu: kita memerlukan asumsi tambahan tentang bagaimana karakteristik statistik dari proses spasial bervariasi dari satu lokasi ke lokasi lain dan dari satu realisasi ke yang lain (walaupun , dalam praktiknya, biasanya hanya satu realisasi yang akan tersedia). Tetapi penjelasan ini harus cukup untuk mengikuti bagaimana pencarian untuk Predictor Linear Tidak Berfungsi "Terbaik" ("BLUP") mengarah langsung ke sistem persamaan linear.

$\Sigma$ $\Sigma$ $\Sigma$ dan memprediksi kumpulan nilai di lokasi yang tidak diketahui. Mereka membutuhkan asumsi yang sedikit lebih kuat (normalitas multivarian) untuk mencapai prestasi ini.

— whuber
sumber

Ada sebuah situs web di luar sana di mana mereka berteriak menentang kriging dan sepertinya dia memiliki beberapa poin yang valid. Saya pikir paragraf terakhir Anda di sini sangat mencerahkan.

— Wayne

@Wayne Ya, Anda bisa tahu apa yang saya bereaksi. Tetapi meskipun kriging telah digunakan sebagai "minyak ular" oleh para konsultan, ia telah banyak digunakan untuk itu, termasuk teori "perubahan dukungan" untuk membandingkan data yang diperoleh dari (katakanlah) sampel kecil suatu media dengan data yang diperoleh dari jauh lebih besar. bagian dari medium itu. Kriging akhirnya berada di bawah pemodelan spatio-temporal paling canggih saat ini. Ini juga merupakan cara yang berguna untuk mengevaluasi proposal alternatif: misalnya, banyak interpolator spasial linier (atau dapat linierisasi), jadi adil untuk membandingkan varians estimasi mereka dengan yang dari kriging.

— whuber

1

Kriging hanyalah estimasi kuadrat terkecil untuk data spasial. Karena itu ia menyediakan penaksir linier yang tidak memihak yang meminimalkan jumlah kesalahan kuadrat. Karena tidak bias, MSE = varians estimator dan minimum.

— Michael R. Chernick
sumber

Saya tidak mendapatkan bagian menghitung kesalahan kriging. Juga saya bingung dengan varian dan varian kriging. Apa perbedaannya dan apa signifikansi mereka

— user31820

@whuber. Terima kasih atas penjelasannya tetapi saya tidak mendapatkan derivasi persamaan ketika Anda menghitung MSE dari nilai yang diprediksi oleh estimasi bias dan estimator sejati. Baris kedua untuk lebih spesifik dalam persamaan itu

— user31820

@whuber Juga saya tidak mendapatkan bagian wiki ketika menghitung varians kriging yang mirip dengan yang ada di jawaban Anda. Mereka memiliki hasil yang sama tetapi persyaratan awal berbeda. Bagaimana bisa?

— user31820