Sebuah pertanyaan tentang parameter distribusi Gamma di ekonometrika Bayesian

8

Artikel Wikipedia tentang distribusi Gamma , mencantumkan dua metode parameterisasi yang berbeda, salah satunya sering digunakan dalam ekonometrika Bayesian dengan $\alpha>0$ dan $\beta>0$ , $\alpha$ adalah parameter bentuk, $\beta$ adalah parameter rate.

X \sim G a m m a (α, β) .

$X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha,\beta).$

Dalam buku teks ekonometrika Bayesian yang ditulis oleh Gary Koop, parameter presisi $\frac{1}{\sigma^2}=h$ mengikuti distribusi Gamma, yang merupakan distribusi sebelumnya

h \sim G a m m a ({\underline{s}}^{- 2}, \underline{ν}),

$h\sim \mathrm{Gamma}(\underline{s}^{-2},\underline{\nu}),$

dimana $\underline{s}^{-2}$ berarti dan $\underline{\nu}$ adalah derajat kebebasan menurut Apendiksnya. Juga $s^2$ adalah kesalahan standar dengan definisi

s^{2} = \frac{\sum (y_{i} - \hat{β} x_{i})}{ν} .

$s^2=\frac{\sum(y_i-\hat{\beta}x_i)}{\nu}.$

Jadi bagi saya, kedua definisi distribusi Gamma ini sangat berbeda, karena rerata dan varians akan berbeda. Jika kita mengikuti definisi wikipedia, artinya adalah $\alpha/\beta$ tidak $\underline{s}^{-2}$ .

Saya sangat bingung di sini, adakah yang bisa membantu saya meregangkan pikiran di sini?

— Babi terbang
sumber

Saya pikir Anda membuat kebingungan:

s^{2}

$s^2$ adalah perkiraan standar deviasi data, bukan standar deviasi distribusi Gamma. Dan itu harus posterior, bukan yang sebelumnya.

— Stéphane Laurent

2

Gamma, sayangnya, tidak memiliki parameterisasi standar tunggal. Terkadang Gamma (a, b) memiliki makna

a b

$ab$ , terkadang berarti

a / b

$a/b$ , dan terkadang berarti

a

$a$ dengan parameter bentuk

b

$b$ . (Ini bukan daftar lengkap.) Semuanya setara, misalnya,

b

$b$ dalam kasus kedua sama dengan kebalikan dari

b

$b$ dalam kasus pertama. Jadi, Anda harus memberi perhatian khusus pada bagaimana fungsi kerapatan ditulis untuk melihat parameterisasi mana yang digunakan.

— jbowman

3

Bagi siapa pun yang masih bergulat dengan notasi mengerikan Koops: Masalahnya adalah bahwa Koop tidak menggunakan skala atau parametrization tingkat , melainkan parametriisasi "rata-rata, derajat kebebasan" (lihat Lampiran, Def. B. 22). Distribusi $h$ dalam parametrization yang tepat (bentuk, laju) demikian

h \sim Gamma (s h a p e = \underline{ν} / 2, r a t e = {\underline{ν s}}^{2} / 2)

$h \sim \text{Gamma}(shape = \underline{\nu}/2 , rate = \underline{\nu s}^2 / 2)$ menggunakan notasi Koops untuk parameter.

— thematthiaz
sumber

2

Saya pikir artikel Wikipedia mengacu pada bentuk spesifik dari distribusi gamma yang dikenal sebagai $\chi^2$ . Chi square adalah $\rm{Gamma}(\nu,1/2)$ dan $s^2$ akan menjadi konstan bahwa $\chi^2$ variabel acak dikalikan dengan untuk mendapatkan variabel acak dengan distribusi estimasi varians. Itu adalah $\alpha=\nu$ dan $\beta=1/2$ . Ini adalah kesalahan standar dan bukan $s^2$ . Dalam artikel yang Anda referensikan $\chi^2$ terdaftar di bawah kasus spesial (peluru kedua).

— Michael R. Chernick
sumber

1

Sudah menjadi kebiasaan untuk memaksakan (seperti sebelumnya) distribusi gamma ke $h=\frac{1}{\sigma^2}$ atau distribusi gamma terbalik ke $\sigma^2$ . Kemudian, posteior akan memiliki tampilan yang cantik. Saya yakin Anda dapat menetapkan distribusi gamma ke $\sigma^2$ , dan masih semua perhitungan untuk menurunkan marginal dengan mengintegrasikan $\sigma^2$ akan melalui.

— Ikuyasu
sumber