Bagaimana cara memperkirakan keakuratan suatu integral?

Situasi yang sangat umum dalam grafik komputer adalah bahwa warna beberapa piksel sama dengan integral dari beberapa fungsi bernilai nyata. Seringkali fungsi ini terlalu rumit untuk diselesaikan secara analitis, jadi kita dibiarkan dengan pendekatan numerik. Tetapi fungsi ini juga sering kali sangat mahal untuk dihitung, jadi kami sangat terkendala dalam berapa banyak sampel yang dapat kami hitung. (Misalnya, Anda tidak bisa hanya memutuskan untuk mengambil satu juta sampel dan membiarkannya begitu saja.)

Secara umum, yang ingin Anda lakukan adalah mengevaluasi fungsi pada titik yang dipilih secara acak hingga integral yang diperkirakan menjadi "cukup akurat". Yang membawa saya ke pertanyaan saya yang sebenarnya: Bagaimana Anda memperkirakan "keakuratan" integral?

Lebih khusus, kami memiliki , yang diimplementasikan oleh beberapa algoritma komputer yang rumit dan lambat. Kami ingin memperkirakan$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

Kita dapat menghitung untuk setiap kita inginkan, tetapi harganya mahal. Jadi kami ingin memilih beberapa nilai secara acak, dan berhenti ketika perkiraan untuk menjadi akurat. Untuk melakukan ini, tentu saja, kita perlu tahu seberapa akurat perkiraan saat ini sebenarnya.$f(x)$$x$$x$$k$

Saya bahkan tidak yakin alat statistik apa yang cocok untuk masalah seperti ini. Tetapi nampak bagi saya bahwa jika kita sama sekali tidak tahu tentang , maka masalahnya tidak dapat diselesaikan. Misalnya, jika Anda menghitung seribu kali dan selalu nol, taksiran integral Anda akan menjadi nol. Tapi, tidak tahu apa-apa tentang , masih mungkin bahwa mana-mana kecuali poin yang Anda ambil sampel, jadi perkiraan Anda sangat salah!$f$$f(x)$$f$$f(x) = 1,000,000$

Mungkin, kemudian, pertanyaan saya seharusnya dimulai dengan "apa yang perlu kita ketahui tentang agar memungkinkan untuk memperkirakan keakuratan integral kita$f$ ?" Sebagai contoh, sering kita tahu bahwa tidak mungkin bagi untuk menjadi negatif, yang kelihatannya merupakan fakta yang sangat relevan ...$f$

Sunting: Oke, jadi ini sepertinya telah menghasilkan banyak respons, yang bagus. Daripada membalas masing-masing secara individual, saya akan mencoba untuk mengisi beberapa latar belakang tambahan di sini.

Ketika saya mengatakan kita tidak tahu apa-apa tentang , maksud saya kita bisa menghitung , tetapi kita tidak tahu apa-apa lagi tentang itu. Saya berharap (dan komentar tampaknya setuju) bahwa memiliki lebih banyak pengetahuan memungkinkan kami untuk menggunakan algoritma yang lebih baik. Tampaknya mengetahui batas-batas pada dan / atau turunan pertama dari akan berguna.$f$$f$$f$$f$

Dalam sebagian besar masalah yang saya sedang berpikir tentang, perubahan tergantung pada geometri adegan dan lokasi dalam adegan di bawah pertimbangan. Ini bukan aljabar yang bagus dan rapi yang secara analitis dapat Anda pecahkan. Biasanya mewakili intensitas cahaya. Jelas intensitas cahaya tidak mungkin negatif, tetapi tidak ada batasan seberapa besar nilai positifnya. Dan akhirnya, tepi objek biasanya menghasilkan diskontinuitas yang tajam pada , dan biasanya Anda tidak dapat memprediksi di mana ini.$f$$f$$f$

Singkatnya, terkutuk fiddly, jadi port of call pertama saya adalah untuk bertanya apa yang bisa kita lakukan dengan itu tanpa informasi lebih lanjut. Tampaknya tanpa setidaknya batas atas dan bawah, jawabannya adalah "tidak banyak" ... Jadi sepertinya saya harus mulai membuat beberapa asumsi untuk membuat kemajuan di sini.$f$

Juga, mengingat berapa kali "Monte Carlo" muncul, saya menduga itu istilah teknis untuk integrasi semacam ini?

Untuk kesederhanaan, anggap f (x)> = 0 untuk semua x dalam [a, b] dan kita tahu M sedemikian sehingga f (x) <M untuk semua x dalam [a, b]. Integral I dari f atas [a, b] dapat ditutup dalam persegi panjang dengan lebar ba dan tinggi M. Integrasi dari f adalah proporsi persegi panjang yang jatuh di bawah fungsi f dikalikan dengan M (ba). Sekarang jika Anda memilih poin dalam kotak secara acak dan menghitung poin sebagai keberhasilan jika jatuh di bawah kurva dan sebagai kegagalan jika tidak, Anda telah menyiapkan uji coba Bernoulli. Fraksi sampel dari titik-titik di dalam adalah proporsi binomial dan karenanya memiliki p rata-rata dan varians p (1-p) / n di mana n adalah jumlah poin yang diambil. Oleh karena itu Anda dapat membangun interval kepercayaan untuk p dan karena I = p M (ba) interval kepercayaan untuk saya juga karena untuk estimasi I ^ = p ^ M (ba), Var (I ^) = M (ba)2 2 2 2 $^2$$^2$p (1-p) / n. Jadi, untuk menggunakan statistik untuk menentukan n terkecil yang integralnya cukup akurat, Anda dapat menentukan batas atas S pada varian I ^. Catat p (1-p) / n <= 1 / (4n) untuk setiap 0 <= p <= 1. Jadi atur S = M (ba) / (4n) atau n = integer terkecil> M (ba) / (4S).$^2$$^2$$^2$$^2$

Ini adalah pertanyaan non-sepele yang melibatkan isu-isu seperti variasi total dari dan ekstensi multivariat yang wajar. Ahli statistik Stanford, Art Owen telah mengerjakan ini menggunakan teknik quasi-Monte Carlo secara acak . Monte Carlo reguler memungkinkan estimasi langsung keakuratan integral, tetapi setiap evaluasi individu tidak seakurat itu. Quasi-Monte Carlo menghasilkan estimasi yang lebih akurat, tetapi ini adalah teknik yang sepenuhnya deterministik, dan karenanya tidak memungkinkan untuk memperkirakan varians hasil Anda. Dia menunjukkan bagaimana menggabungkan kedua pendekatan, dan makalahnya sangat jelas, jadi saya tidak akan mencoba mereproduksi di sini.$f$

Bacaan tambahan untuk ini tentu saja akan menjadi Niederreiter (1992) monograf.