Apa yang dimaksud dengan aljabar dihasilkan oleh variabel acak?

Seringkali, dalam studi statistik (mandiri) saya, saya telah bertemu dengan terminologi " aljabar yang dihasilkan oleh variabel acak". Saya tidak mengerti definisi di Wikipedia , tetapi yang paling penting saya tidak mendapatkan intuisi di baliknya. Mengapa / kapan kita membutuhkan aljabar yang dihasilkan oleh variabel acak? Apa artinya mereka Saya tahu yang berikut: $\sigma$ $\sigma-$

a aljabar pada suatu set adalah kumpulan subset kosong dari yang mengandung , ditutup di bawah komplemen dan di bawah gabungan yang dapat dihitung. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\Omega$
kami memperkenalkan -algebras untuk membangun ruang probabilitas pada ruang sampel tanpa batas. Secara khusus, jika adalah tak terhingga tak terhingga, kita tahu ada subset yang tidak terukur (set yang tidak dapat kita tentukan probabilitasnya). Dengan demikian, kita tidak bisa hanya menggunakan set daya sebagai set acara kami . Kita membutuhkan seperangkat yang lebih kecil, yang masih cukup besar sehingga kita dapat menentukan probabilitas peristiwa yang menarik, dan kita dapat berbicara tentang konvergensi urutan variabel acak. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$ $\mathcal{F}$

Singkatnya, saya pikir saya memiliki pemahaman intuitif yang adil tentang aljabar. Saya ingin memiliki pemahaman yang sama untuk aljabar yang dihasilkan oleh variabel acak: definisi, mengapa kita membutuhkannya, intuisi, contoh ... $\sigma-$ $\sigma-$

probability random-variable sigma-algebra

— DeltaIV
sumber

Salah satu karakterisasi yang efektif (dan bermakna secara intuitif) adalah bahwa ini adalah aljabar-sigma paling kasar pada

Ω

$\Omega$ yang membuat variabel acak terukur.

— whuber

@ Whuber kasar berarti terkecil? Dengan kata lain, saya memiliki ruang probabilitas saya

(Ω, F, P)

$(\Omega,\mathcal{F},P)$ , saya punya RV

X : Ω \to R

$X:\Omega\to\mathcal{R}$ (yang dapat diukur dengan definisi variabel acak), dan

σ

$\sigma$ adalah subset terkecil dari

F

$\mathcal{F}$ sehingga

X

$X$ masih dapat diukur. Ok, tapi ini menimbulkan pertanyaan tentang apa artinya secara intuitif bahwa

X

$X$ dapat diukur :-) apakah masuk akal untuk mengatakan bahwa kita dapat mendefinisikan probabilitas semua peristiwa semacam itu

a < X < b

$a\lt X \lt b$ dan serikat / persimpangan?

— DeltaIV

Melihat satu pada suatu waktu memberi sedikit intuisi tentang keterukur. Konsep ini muncul dengan sendirinya ketika Anda mempelajari koleksi variabel acak - proses stokastik. Pada gilirannya, proses stokastik yang paling sederhana (seperti jalan acak Binomial terbatas diskrit) menyediakan pengaturan yang dapat ditafsirkan di mana aljabar-sigma yang dihasilkan oleh semua variabel dapat dianggap sebagai "informasi yang tersedia hingga ( dan termasuk) waktu . "

X

$X$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{t}

$X_0, X_1, \ldots, X_t$

t

$t$

— whuber

@whuber maaf, saya tidak mengerti :) Saya akan menghargai jika Anda bisa mengarahkan saya ke jawaban lain di mana Anda pergi lebih detail, atau jika Anda ingin memperluas ini sebagai jawaban. Kalau tidak, jangan khawatir - mungkin saya tidak cukup tahu tentang proses stokastik untuk mendapatkan poin Anda. Tapi saya perlu mengasah kemampuan Dynamic Bayesian Network saya, jadi jika intuisi ini membantu ketika mengerjakan time series, saya akan sangat tertarik.

— DeltaIV

Lihat stats.stackexchange.com/a/123754/919 . Juga bermanfaat mungkin stats.stackexchange.com/a/164995/919 dan stats.stackexchange.com/a/74339/919 .

— whuber

Pertimbangkan variabel acak $X$ . Kita tahu bahwa $X$ tidak lain adalah fungsi yang dapat diukur dari $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ menjadi $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ , di mana $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ adalah set Borel dari garis nyata. Dengan definisi terukur kita tahu bahwa kita memiliki

X^{- 1} (B) \in A, \forall B \in B (R)

$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$

Tetapi dalam prakteknya preimage dari set Borel mungkin tidak semuanya $\mathcal{A}$ tetapi sebaliknya mereka mungkin merupakan subset yang lebih kasar darinya. Untuk melihat ini, mari kita definisikan

Σ = {S \in A : S = X^{- 1} (B), B \in B (R)}

$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$

Menggunakan sifat-sifat preimage, tidak terlalu sulit untuk menunjukkan bahwa $\mathcal{\Sigma}$ adalah aljabar-sigma. Ini juga segera mengikuti bahwa $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ , maka $\mathcal{\Sigma}$ adalah aljabar-sub-sigma. Lebih lanjut, dengan definisi-definisi tersebut, mudah untuk melihat bahwa pemetaan $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ dapat diukur. $\mathcal{\Sigma}$ sebenarnya adalah sigma-aljabar terkecil yang menjadikan $X$ sebagai variabel acak karena semua sigma-aljabar lain dari jenis itu paling tidak akan menyertakan $\mathcal{\Sigma}$ . Untuk alasan bahwa kita berhadapan dengan preimages dari variabel acak $X$ , kita sebut $\mathcal{\Sigma}$ sigma-aljabar disebabkan oleh variabel acak $X$ .

Ini adalah contoh ekstrem: pertimbangkan variabel acak konstan $X$ , yaitu $X(\omega) \equiv \alpha$ . Kemudian $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ sama dengan baik $\Omega$ atau $\varnothing$ tergantung pada apakah $\alpha \in B$ . The sigma-aljabar sehingga dihasilkan adalah sepele dan dengan demikian, sudah pasti termasuk dalam $\mathcal{A}$ .

Semoga ini membantu.

— JohnK
sumber

adalah rangkaian acara, kan? Yang saya

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— tunjukkan

Ya, aku lahir dengan kondisi menemukan

lebih menarik daripada

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— JohnK

luar biasa! Sangat jelas. Anda harus menulis buku :)

— DeltaIV