Apa perbedaan antara ketergantungan linear dan berkorelasi linear?

12

Tolong jelaskan apa perbedaan antara jika dua variabel tergantung linear atau berkorelasi linear .

Saya mencari artikel wikipedia tetapi tidak mendapatkan contoh yang tepat. Tolong jelaskan dengan contoh.

correlation non-independent

— Selamat Mittal
sumber

14

Dua variabel tergantung secara linear jika satu dapat ditulis sebagai fungsi linear dari yang lain. Jika dua variabel secara linear tergantung korelasi di antara mereka adalah 1 atau -1. Berkorelasi linier hanya berarti bahwa dua variabel memiliki korelasi non-nol tetapi tidak harus memiliki hubungan linier yang tepat. Korelasi kadang-kadang disebut korelasi linier karena koefisien korelasi product moment Pearson adalah ukuran kekuatan linearitas dalam hubungan antar variabel.

— Michael R. Chernick
sumber

3

+1. Padahal, saya lebih suka mengatakan koefisien Pearson. "Adalah ukuran kekuatan hubungan linier" bukannyais a measure of the degree of linearity in [= of?] the relationship

— ttnphns

@ttnphns Oke kedengarannya lebih tepat.

— Michael R. Chernick

Mungkin daripada akan menjadi ukuran yang lebih baik karena kita tidak perlu repot dengan dekat dengan berarti hubungan linier yang kuat (meskipun dengan kemiringan negatif). Juga, pertimbangkan berapa banyak varians yang dijelaskan versus yang tidak dijelaskan, dan bahwa tidak memprovokasi ahli statistik untuk memutar roda berguling dan melakukan handstand dalam perayaan sedangkan adalah bukti yang jauh lebih baik dari hasil positif (baca, dapat diterbitkan).

ρ^{2}

$\rho^2$

ρ

$\rho$

ρ

$\rho$

- 1

$-1$

ρ = 0.51

$\rho = 0.51$

ρ^{2} > 1 / \sqrt{2} \approx 70 %

$\rho^2 > 1/\sqrt{2} \approx 70\%$

— Dilip Sarwate

8

Dalam ketergantungan linear menyiratkan bahwa satu vektor adalah fungsi linear dari yang lain: Jelas dari definisi ini bahwa kedua variabel akan bergerak dalam langkah-kunci, menyiratkan korelasi atau tergantung pada nilai . Untuk lebih memahami perbedaan dan hubungan antara konsep, saya pikir bermanfaat untuk mempertimbangkan geometri yang terlibat. $\mathbf{R}^2$

v_{1} = a v_{2} .

$\textbf{v}_{1}=a\textbf{v}_2.$

1

$1$

- 1

$-1$

a

$a$

Grafik di bawah ini menunjukkan contoh rumus untuk ketergantungan linear. Anda dapat melihat bahwa vektor bergantung secara linier karena satu hanyalah kelipatan dari yang lain. masukkan deskripsi gambar di sini

Ini berbeda dengan independensi linear, yang dalam dijelaskan oleh: untuk vektorContoh independensi linear dapat dilihat pada grafik di bawah ini. $\mathbf{R}^2$

v_{1} \neq a v_{2}

$\textbf{v}_{1}\neq a\textbf{v}_2$

v_{1}, v_{2} \neq 0 .

$\textbf{v}_1, \textbf{v}_2 \neq \textbf{0}.$ masukkan deskripsi gambar di sini

Versi paling bebas dari kebebasan linear adalah ortogonalitas, didefinisikan untuk vektor sebagai: Ketika digambarkan di , berkorespondensi ortogonalitas ke vektor dan menjadi tegak lurus satu sama lain: $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2$

v_{1}^{T} v_{2} = 0.

$\textbf{v}_{1}^T \textbf{v}_{2} = 0.$

R^{2}

$\mathbf{R}^2$

v_{1}

$\textbf{v}_{1}$

v_{2}

$\textbf{v}_2$

masukkan deskripsi gambar di sini

Sekarang, pertimbangkan koefisien korelasi Pearson:

ρ_{v_{1} v_{2}} = \frac{(v_{1} - {\bar{v}}_{1} 1)^{T} (v_{2} - {\bar{v}}_{2} 1)}{σ_{v_{1}} σ_{v_{2}}} .

$\rho_{\textbf{v}_{1}\textbf{v}_{2}} = \frac{(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})^T(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})}{\sigma_{\textbf{v}_{1}}\sigma_{\textbf{v}_{2}}}.$

Perhatikan bahwa jika vektor dan bersifat ortogonal maka pembilang koefisien Pearson adalah nol, menyiratkan bahwa variabel dan tidak berkorelasi. Ini menggambarkan hubungan yang menarik antara independensi linear dan korelasi: ketergantungan linear antara versi variabel dan berhubungan dengan korelasi atau , non -Kemerdekaan linear linear antara versi terpusat dari dan $(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})$ $(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $1$ $-1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ sesuai dengan korelasi antara dan dalam nilai absolut, dan ortogonalitas antara versi terpusat dari dan sesuai dengan korelasi . $0$ $1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $0$

Jadi, jika dua vektor bergantung secara linear, versi vektor yang terpusat juga akan bergantung secara linear, yaitu vektor-vektor tersebut berkorelasi sempurna. Ketika dua vektor bebas linear (ortogonal atau tidak) dipusatkan, sudut antara vektor dapat atau mungkin tidak berubah. Jadi untuk vektor yang bebas linear, korelasinya mungkin positif, negatif, atau nol.

— tjnel
sumber

0

Biarkan f (x) dan g (x) berfungsi.

Agar f (x) dan g (x) harus bebas linear, kita harus memilikinya

a * f (x) + b * g (x) = 0 jika dan hanya jika a = b = 0.

Dengan kata lain tidak ada c sehingga a atau b bukan nol tetapi

a * f (c) + b * g (c) = 0

Jika ada ac seperti itu, maka kita katakan bahwa f (x) dan g (x) bergantung secara linear.

misalnya

f (x) = sin (x) dan g (x) = cos (x) adalah bebas linear

f (x) = sin (x) dan g (x) = sin (2x) tidak bergantung secara linear (Mengapa?)

— pengguna34832
sumber

2

Dengan definisi yang Anda gunakan di sana, mungkin ada sehingga ; mereka hanya bergantung secara linear jika itu terjadi untuk semua dalam domain yang dipertimbangkan; misalnya, perhatikan contoh kedua Anda, dengan . (Juga, saya pikir ada masalah dengan contoh pertama Anda)

c

$c$

a f (c) + b g (c) = 0

$a f(c) + b g(c) = 0$

x

$x$

c = π / 3

$c=\pi/3$

— Glen_b -Reinstate Monica